📝 南京理工大学 2024年数学分析真题

一．（15 分）解答如下问题：
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}-1}$ ．
（2）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．

七．（15分）计算三重积分

$$
\iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}, x^{2}+y^{2} \leq a x, a>0$ ．

三．（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=(\xi-1)^{2} f^{\prime \prime}(\xi)$ ．

九．（15 分）计算曲线积分

$$
\lim _{d(\Omega) \rightarrow 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{L}(\mathbf{F}, \mathbf{n}) \mathrm{d} s
$$

其中 $\displaystyle \Omega$ 是包含原点且由简单封闭的光滑曲线 $C$ 围成的区域，$\displaystyle d(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的直径，$\displaystyle S(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的面积， $\displaystyle \mathbf{F}=(P(x, y), Q(x, y))$ 为区域 $\displaystyle \Omega+C$ 上连续可微的向量函数， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为曲线 $C$ 的单位外法向量．

二．（15 分）解答如下问题：
（1）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left[\ln \left(\tan \frac{1}{n}\right)\right]^{3}}$ 的玫散性．
（2）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x(p \geq 0)$ 的敛散性．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-\lambda x]=0$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

八．（15分）计算曲面积分

$$
I=\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$

其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，取曲面下侧．

六．（15分）解答如下问题：
（1）求 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{x+3}{x-3}$ 的麦克劳林级数展开式，并讨论收玫区间．
（2）求 $\displaystyle f(x)=x^{3}$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的余弦级数．

十．（15分）用有限覆盖定理证明致密性定理，即任意有界数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 必定有收敛子列．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ．
（1）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续区间．
（2）计算 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．