南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
九．（15 分）计算曲线积分
$$
\lim _{d(\Omega) \rightarrow 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{L}(\mathbf{F}, \mathbf{n}) \mathrm{d} s
$$
其中 $\displaystyle \Omega$ 是包含原点且由简单封闭的光滑曲线 $C$ 围成的区域，$\displaystyle d(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的直径，$\displaystyle S(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的面积， $\displaystyle \mathbf{F}=(P(x, y), Q(x, y))$ 为区域 $\displaystyle \Omega+C$ 上连续可微的向量函数， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为曲线 $C$ 的单位外法向量．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目中的极限表达式
题目要求计算当包含原点的区域Ω收缩到原点时，向量场F在边界曲线C上的外法向通量除以区域面积S(Ω)的极限。这类似于散度的平均值的极限。
公式：\lim_{d(\Omega) \to 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{C} (\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds
提示：注意d(Ω)是区域直径，趋于0表示区域收缩到原点。
步骤 2/5
目标：应用散度定理（高斯公式）将曲线积分转化为面积分
根据平面上的散度定理（高斯公式），向量场F通过封闭曲线C的外法向通量等于其散度在区域Ω上的二重积分：
\oint_{C} (\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds = \iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA，其中散度定义为 \operatorname{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}。
公式：\oint_{C} (\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds = \iint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) \, dA
提示：确保曲线C是光滑简单封闭曲线，且F在闭区域上连续可微，这是应用高斯公式的条件。
步骤 3/5
目标：将原表达式转化为散度的平均值
将高斯公式代入原极限表达式，得到：
\frac{1}{S(\Omega)} \oint_{C} (\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds = \frac{1}{S(\Omega)} \iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA。
这恰好是散度函数在区域Ω上的平均值。
公式：\frac{1}{S(\Omega)} \iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA
提示：面积S(Ω)是分母，注意不要与散度符号混淆。
步骤 4/5
目标：利用积分中值定理求极限
由于散度函数在闭区域上连续，由二重积分中值定理，存在一点(ξ, η) ∈ Ω，使得：
\iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA = \operatorname{div} \mathbf{F}(\xi, \eta) \cdot S(\Omega)。
代入得：
\frac{1}{S(\Omega)} \iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA = \operatorname{div} \mathbf{F}(\xi, \eta)。
公式：\iint_{\Omega} \operatorname{div} \mathbf{F} \, dA = \operatorname{div} \mathbf{F}(\xi, \eta) \cdot S(\Omega)
提示：中值定理要求被积函数连续，这里散度连续由F连续可微保证。
步骤 5/5
目标：取极限得到最终结果
当d(Ω) → 0时，区域Ω收缩到原点，中值点(ξ, η)必然趋于原点(0,0)。由散度函数的连续性，有：
\lim_{d(\Omega) \to 0} \operatorname{div} \mathbf{F}(\xi, \eta) = \operatorname{div} \mathbf{F}(0,0)。
因此原极限等于向量场F在原点的散度。
公式：\lim_{d(\Omega) \to 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{C} (\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds = \operatorname{div} \mathbf{F}(0,0) = \frac{\partial P}{\partial x}(0,0) + \frac{\partial Q}{\partial y}(0,0)
提示：极限结果与区域形状无关，只依赖于原点处的散度值。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
因此，原极限等于向量场F在原点处的散度。
公式：\boxed{\left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\bigg|_{(0,0)}}
提示：结果与区域形状无关，只取决于原点处的散度。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，原极限等于散度在原点处的值：
\[
\lim_{d(\Omega) \to 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{L}(\mathbf{F}, \mathbf{n}) \, ds = \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right)\bigg|_{(0,0)}.
\]
提示：最终结果与区域形状无关，只依赖于原点处的散度。
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