南京理工大学 2024年数学分析第0题

已知 $f(x)=\arctan\frac{x+3}{x-3}$，先求导： $$f'(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{x+3}{x-3}\right)^2}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x+3}{x-3}\right)$$ 计算内函数导数： $$\frac{d}{dx}\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x-3)-(x+3)}{(x-3)^2}=\frac{-6}{(x-3)^2}$$ 而 $$1+\left(\frac{x+3}{x-3}\right)^2=\frac{(x-3)^2+(x+3)^2}{(x-3)^2}=\frac{2(x^2+9)}{(x-3)^2}$$ 因此 $$f'(x)=\frac{(x-3)^2}{2(x^2+9)}\cdot\frac{-6}{(x-3)^2}=-\frac{3}{x^2+9}$$

利用几何级数展开： $$\frac{1}{x^2+9}=\frac{1}{9}\cdot\frac{1}{1+\frac{x^2}{9}}=\frac{1}{9}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}$$ 条件为 $\left|\frac{x^2}{9}\right|<1$，即 $|x|<3$。 于是 $$f'(x)=-3\cdot\frac{1}{9}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n}}{9^n}$$ 整理得 $$f'(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^{2n+1}}x^{2n}$$

对 $f'(x)$ 从0到 $x$ 积分，并利用 $f(0)=\arctan\frac{0+3}{0-3}=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}$： $$f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)dt=-\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^{2n+1}}\int_0^x t^{2n}dt$$ $$=-\frac{\pi}{4}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^{2n+1}}\cdot\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

由几何级数收敛条件 $|x|<3$ 知级数在 $(-3,3)$ 内绝对收敛。 检查端点： - $x=3$ 时，原函数分母为零，无定义，故不包含。 - $x=-3$ 时，原函数 $f(-3)=\arctan 0=0$，级数变为 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{3^{2n+1}(2n+1)}(-3)^{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}(-1)^{2n+1}}{2n+1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1}$，这是交错调和级数，条件收敛。 因此收敛区间为 $[-3,3)$。

将 $f(x)=x^3$ 在 $[0,\pi]$ 上作偶延拓，余弦级数形式为： $$f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos(nx)$$ 其中系数公式： $$a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi f(x)\cos(nx)dx,\quad n\ge 0$$

$$a_0=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x^3dx=\frac{2}{\pi}\cdot\left[\frac{x^4}{4}\right]_0^\pi=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^4}{4}=\frac{\pi^3}{2}$$

使用分部积分法，令 $u=x^3,\ dv=\cos(nx)dx$，则 $du=3x^2dx,\ v=\frac{\sin(nx)}{n}$。 $$\int x^3\cos(nx)dx=\frac{x^3\sin(nx)}{n}-\frac{3}{n}\int x^2\sin(nx)dx$$ 再对 $\int x^2\sin(nx)dx$ 分部：令 $u=x^2,\ dv=\sin(nx)dx$，得 $du=2xdx,\ v=-\frac{\cos(nx)}{n}$， $$\int x^2\sin(nx)dx=-\frac{x^2\cos(nx)}{n}+\frac{2}{n}\int x\cos(nx)dx$$ 最后对 $\int x\cos(nx)dx$ 分部：$u=x,\ dv=\cos(nx)dx$，得 $du=dx,\ v=\frac{\sin(nx)}{n}$， $$\int x\cos(nx)dx=\frac{x\sin(nx)}{n}+\frac{\cos(nx)}{n^2}$$ 回代得： $$\int x^3\cos(nx)dx=\frac{x^3\sin(nx)}{n}+\frac{3x^2\cos(nx)}{n^2}-\frac{6x\sin(nx)}{n^3}-\frac{6\cos(nx)}{n^4}$$

代入 $x=\pi$：$\sin(n\pi)=0,\ \cos(n\pi)=(-1)^n$，得 $\frac{3\pi^2(-1)^n}{n^2}-\frac{6(-1)^n}{n^4}$。 代入 $x=0$：所有含 $x$ 项为0，得 $-\frac{6}{n^4}$。 因此定积分： $$\int_0^\pi x^3\cos(nx)dx=\left[\frac{3\pi^2(-1)^n}{n^2}-\frac{6(-1)^n}{n^4}\right]-\left[-\frac{6}{n^4}\right]=\frac{3\pi^2(-1)^n}{n^2}+\frac{6[1-(-1)^n]}{n^4}$$ 于是 $$a_n=\frac{2}{\pi}\left[\frac{3\pi^2(-1)^n}{n^2}+\frac{6[1-(-1)^n]}{n^4}\right]=\frac{6\pi(-1)^n}{n^2}+\frac{12[1-(-1)^n]}{\pi n^4}$$