南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
十．（15分）用有限覆盖定理证明致密性定理，即任意有界数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 必定有收敛子列．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定有界数列并假设无收敛子列
设数列 $\{x_n\}$ 有界，即存在 $M>0$，使得对一切 $n$，有 $|x_n| \le M$。于是所有项都落在闭区间 $[-M, M]$ 中。假设 $\{x_n\}$ 没有收敛子列。
公式：$|x_n| \le M$
提示：注意有界性的定义：存在一个正数 M 使得所有项都在 [-M, M] 内。
步骤 2/6
目标：由无收敛子列导出每点邻域只含有限项
由于假设 $\{x_n\}$ 无收敛子列，则对于任意一点 $x \in [-M, M]$，$x$ 不是数列的聚点。由聚点的定义，存在一个开区间 $(x-\delta_x, x+\delta_x)$，使得该开区间内只含有数列的有限多项。
公式：$\exists \delta_x > 0$，使得 $(x-\delta_x, x+\delta_x)$ 内至多含有 $\{x_n\}$ 的有限项
提示：聚点的否定：若 x 不是聚点，则存在一个邻域只包含数列的有限个点。
步骤 3/6
目标：构造开覆盖
对每个 $x \in [-M, M]$，取这样的开区间 $I_x = (x-\delta_x, x+\delta_x)$，使得 $I_x$ 只包含数列的有限多项。所有这些开区间的集合 $\{I_x : x \in [-M, M]\}$ 显然覆盖了闭区间 $[-M, M]$。
公式：$\bigcup_{x \in [-M, M]} I_x \supseteq [-M, M]$
提示：开覆盖的定义：每个点都被某个开区间覆盖。
步骤 4/6
目标：应用有限覆盖定理
因为 $[-M, M]$ 是闭区间，由有限覆盖定理，存在有限个这样的开区间 $I_{x_1}, I_{x_2}, \dots, I_{x_k}$ 仍然覆盖整个 $[-M, M]$，即 $\bigcup_{i=1}^k I_{x_i} \supseteq [-M, M]$。
公式：$\exists \{x_1, x_2, \dots, x_k\} \subset [-M, M]$，使得 $\bigcup_{i=1}^k I_{x_i} \supseteq [-M, M]$
提示：有限覆盖定理：闭区间上的任意开覆盖都有有限子覆盖。
步骤 5/6
目标：导出矛盾
每个 $I_{x_i}$ 只包含数列的有限多项，因此这有限个区间的并集也只包含数列的有限多项。但数列的所有项都在 $[-M, M]$ 中，而 $[-M, M]$ 被这些区间覆盖，所以数列的所有项必须落在这有限个区间的并集中，这意味着数列只有有限多项，这与数列是无穷数列矛盾。
公式：有限个有限集的并集仍为有限集
提示：注意：无穷数列有无限多项，而有限覆盖导致只有有限项，矛盾。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此假设不成立，原数列必有收敛子列。证毕。
提示：致密性定理得证。
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