南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ．
（1）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续区间．
（2）计算 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定级数的收敛域
考虑函数项级数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$，通项为 $a_n = n e^{-n x}$。使用根值判别法：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = \lim_{n\to\infty} n^{1/n} e^{-x} = e^{-x}$。级数收敛当且仅当 $e^{-x} < 1$，即 $x > 0$。当 $x=0$ 时，通项为 $n$，级数发散；当 $x<0$ 时，$e^{-x}>1$，级数发散。因此收敛域为 $(0, +\infty)$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n e^{-n x}} = e^{-x}$，收敛条件 $e^{-x} < 1 \Rightarrow x > 0$
提示：注意 $\lim_{n\to\infty} n^{1/n} = 1$，不要误算为 $0$ 或 $\infty$。
步骤 2/7
目标：讨论级数在收敛域内的连续性
对于任意闭区间 $[a, b] \subset (0, +\infty)$，取 $a > 0$，则有 $|n e^{-n x}| \le n e^{-n a}$ 对一切 $x \in [a, b]$ 成立。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n a}$ 是收敛的正项级数（因为 $a>0$），由 Weierstrass M-判别法，原级数在 $[a, b]$ 上一致收敛。每一项 $n e^{-n x}$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，所以和函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续。由 $a>0$ 的任意性，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上每一点都连续。
公式：$|n e^{-n x}| \le n e^{-n a}$，$\sum n e^{-n a}$ 收敛
提示：一致收敛是保证和函数连续的关键，注意需要闭区间且避开 $x=0$。
步骤 3/7
目标：得出连续区间结论
综合收敛域和连续性分析，$f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续，且在该区间外无定义或发散，因此连续区间为 $(0, +\infty)$。
公式：连续区间：$(0, +\infty)$
提示：不要写成 $[0, +\infty)$，因为 $x=0$ 处级数发散。
步骤 4/7
目标：利用一致收敛性逐项积分
在区间 $[1, 2]$ 上，由于 $[1,2] \subset (0,+\infty)$，由第2步知级数一致收敛，因此可以逐项积分：$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{1}^{2} n e^{-n x} \, dx$。
公式：$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{1}^{2} n e^{-n x} \, dx$
提示：逐项积分需要验证一致收敛性，这里已满足条件。
步骤 5/7
目标：计算内层积分
计算 $\int_{1}^{2} n e^{-n x} \, dx$：令 $u = -n x$，则 $dx = -\frac{1}{n} du$，或直接使用公式：$\int n e^{-n x} dx = -e^{-n x} + C$。因此 $\int_{1}^{2} n e^{-n x} \, dx = \left[-e^{-n x}\right]_{x=1}^{x=2} = -e^{-2n} + e^{-n} = e^{-n} - e^{-2n}$。
公式：$\int_{1}^{2} n e^{-n x} \, dx = e^{-n} - e^{-2n}$
提示：注意积分限代入时符号变化，不要遗漏负号。
步骤 6/7
目标：将积分转化为两个等比级数之差
于是 $\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} (e^{-n} - e^{-2n}) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} - \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2n}$。这两个都是公比小于1的等比级数。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} = \frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}$，$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2n} = \frac{e^{-2}}{1-e^{-2}}$
提示：等比级数求和公式 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$，其中 $|r|<1$。
步骤 7/7
目标：化简求和结果
计算：$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-n} = \frac{1/e}{1-1/e} = \frac{1}{e-1}$；$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-2n} = \frac{1/e^2}{1-1/e^2} = \frac{1}{e^2-1}$。因此原积分 $= \frac{1}{e-1} - \frac{1}{e^2-1}$。通分：$\frac{1}{e-1} - \frac{1}{(e-1)(e+1)} = \frac{e+1-1}{(e-1)(e+1)} = \frac{e}{e^2-1}$。
公式：$\int_{1}^{2} f(x) \, dx = \frac{e}{e^2-1}$
提示：注意 $e^2-1 = (e-1)(e+1)$，通分时小心分子运算。
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