南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二．（15 分）解答如下问题：
（1）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left[\ln \left(\tan \frac{1}{n}\right)\right]^{3}}$ 的玫散性．
（2）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x(p \geq 0)$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析级数通项在n→∞时的渐近行为
当n很大时，1/n很小，利用等价无穷小：tan x ~ x (x→0)，得 tan(1/n) ~ 1/n。再取对数：ln(tan(1/n)) ~ ln(1/n) = -ln n。因此通项 ~ 1/(ln n)^3。
公式：\frac{1}{[\ln(\tan\frac{1}{n})]^3} \sim \frac{1}{(\ln n)^3}
提示：注意负号在三次方后消失，只需关注绝对值大小。
步骤 2/5
目标：比较判别法判断级数敛散性
由于当n足够大时，1/(ln n)^3 > 1/n，而调和级数∑1/n发散，由比较判别法知原级数发散。也可用积分判别法：∫_2^∞ dx/(ln x)^3 发散（换元t=ln x后得∫ e^t/t^3 dt发散）。
公式：\frac{1}{(\ln n)^3} > \frac{1}{n} \quad (n\text{充分大})
提示：对数函数增长慢于任何幂函数，因此1/(ln n)^3衰减极慢，级数发散。
步骤 3/5
目标：处理含参反常积分：变量替换
令t=x^2，则x=√t，dx=1/(2√t) dt，积分限从1到∞。原积分化为：∫_1^∞ sin(x^2)/(1+x^p) dx = 1/2 ∫_1^∞ sin t / [t^{1/2}(1+t^{p/2})] dt。
公式：\int_1^\infty \frac{\sin x^2}{1+x^p}dx = \frac12\int_1^\infty \frac{\sin t}{t^{1/2}(1+t^{p/2})}dt
提示：注意积分下限对应t=1，上限不变。
步骤 4/5
目标：分析新积分在无穷远处的渐近行为
当t→∞时，若p>0，则1+t^{p/2} ~ t^{p/2}，被积函数 ~ sin t / t^{(p+1)/2}；若p=0，则分母为常数2，被积函数 ~ sin t / (2 t^{1/2})。
公式：\frac{\sin t}{t^{1/2}(1+t^{p/2})} \sim \frac{\sin t}{t^{(p+1)/2}} \quad (p>0); \quad \sim \frac{\sin t}{2t^{1/2}} \quad (p=0)
提示：注意p=0时指数为1/2，仍为正数。
步骤 5/5
目标：应用Dirichlet判别法判断积分收敛性
对于形如∫_1^∞ sin t / t^α dt的积分，当α>0时，由于∫_1^A sin t dt有界，且1/t^α单调递减趋于0，由Dirichlet判别法知积分收敛。这里对任意p≥0，α=(p+1)/2≥1/2>0，故积分收敛。
公式：\alpha = \frac{p+1}{2} > 0 \quad \Rightarrow \quad \int_1^\infty \frac{\sin t}{t^\alpha}dt \text{ 收敛}
提示：该积分是条件收敛而非绝对收敛，但题目只要求判断敛散性。
步骤 6/8
目标：分析被积函数在无穷远处的渐近行为
当t→∞时，若p>0，则1+t^{p/2}~t^{p/2}，被积函数~\frac{\sin t}{t^{(1+p)/2}}；若p=0，则分母为常数2，被积函数~\frac{\sin t}{2t^{1/2}}。因此统一形式为 \frac{\sin t}{t^\alpha}，其中\alpha=\frac{1+p}{2}\ge\frac12>0。
公式：\frac{\sin t}{t^{1/2}(1+t^{p/2})}\sim\frac{\sin t}{t^{(1+p)/2}},\quad \alpha=\frac{1+p}{2}
提示：p≥0保证α≥1/2，始终为正数。
步骤 7/8
目标：应用Dirichlet判别法判断积分收敛性
对于积分 \(\int_1^\infty\frac{\sin t}{t^\alpha}dt\)（α>0），由于 \(\int_1^A\sin t\,dt\) 有界（绝对值≤2），而 \(1/t^\alpha\) 在[1,∞)上单调递减趋于0，由Dirichlet判别法知积分收敛。这里α=(1+p)/2>0恒成立，故原积分对任意p≥0收敛。
公式：\left|\int_1^A\sin t\,dt\right|\le 2,\quad \frac{1}{t^\alpha}\searrow 0\ (\alpha>0)
提示：注意检查t=1处无瑕点，只需考虑无穷远。Dirichlet判别法要求单调趋于0，这里满足。
步骤 8/8
目标：得出积分敛散性结论
综合以上分析，对任意p≥0，积分 \(\int_1^{+\infty}\frac{\sin x^2}{1+x^p}dx\) 均收敛。
提示：p=0时也收敛，不要误以为分母无增长会导致发散。
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