南京理工大学 2024年数学分析第0题

将待证等式 $f'(\xi) = (\xi-1)^2 f''(\xi)$ 移项得 $f'(\xi) - (\xi-1)^2 f''(\xi)=0$。考虑构造辅助函数 $\varphi(x)=f'(x)e^{\frac{1}{x-1}}$，其中 $x \in [0,1)$。计算其导数：$\varphi'(x)=f''(x)e^{\frac{1}{x-1}} + f'(x)e^{\frac{1}{x-1}}\cdot\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)=e^{\frac{1}{x-1}}\left[f''(x)-\frac{f'(x)}{(x-1)^2}\right]$。因此，$\varphi'(\xi)=0$ 等价于 $f''(\xi)-\frac{f'(\xi)}{(\xi-1)^2}=0$，即原等式。

已知 $f'(0)=0$，则 $\varphi(0)=f'(0)e^{\frac{1}{0-1}}=0\cdot e^{-1}=0$。当 $x\to 1^-$ 时，$\frac{1}{x-1}\to -\infty$，故 $e^{\frac{1}{x-1}}\to 0$；又 $f'(x)$ 在 $x=1$ 处连续（因二阶可导），所以 $\lim_{x\to 1^-}\varphi(x)=f'(1)\cdot 0=0$。补充定义 $\varphi(1)=0$，则 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。

由于 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $\varphi(0)=\varphi(1)=0$，由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$。

由 $\varphi'(\xi)=0$ 得 $e^{\frac{1}{\xi-1}}\left[f''(\xi)-\frac{f'(\xi)}{(\xi-1)^2}\right]=0$。因为指数函数 $e^{\frac{1}{\xi-1}}>0$，所以 $f''(\xi)-\frac{f'(\xi)}{(\xi-1)^2}=0$，即 $f'(\xi)=(\xi-1)^2 f''(\xi)$。证毕。

由 $g'(\xi)=0$ 及 $g'(x)$ 的表达式，得到 $f''(\xi) - \frac{f'(\xi)}{(\xi-1)^2}=0$，即 $f'(\xi) = (\xi-1)^2 f''(\xi)$。因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得等式成立，证毕。

由 $g'(\xi)=0$ 且 $e^{\frac{1}{\xi-1}} \neq 0$（因为 $\xi \in (0,1)$，$\xi-1<0$，指数不为零），得 $f''(\xi) - \frac{f'(\xi)}{(\xi-1)^2}=0$，即 $f'(\xi) = (\xi-1)^2 f''(\xi)$。证毕。