南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．（15分）计算三重积分
$$
\iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}, x^{2}+y^{2} \leq a x, a>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析积分区域并选择坐标系
积分区域由球体 $x^2+y^2+z^2 \le a^2$ 和圆柱 $x^2+y^2 \le a x$ 的交集构成。将圆柱条件配方得 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2 \le (\frac{a}{2})^2$，表示 $xy$ 平面上圆心在 $(\frac{a}{2},0)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆沿 $z$ 轴延伸的柱体。采用柱坐标 $x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=z$，则圆柱条件化为 $r \le a\cos\theta$，且 $\cos\theta \ge 0$ 即 $\theta \in [-\pi/2,\pi/2]$；球体条件化为 $r^2+z^2 \le a^2$。
公式：$r \le a\cos\theta,\; \theta \in [-\pi/2,\pi/2],\; z \in [-\sqrt{a^2-r^2},\sqrt{a^2-r^2}]$
提示：注意圆柱的偏心性，柱坐标下 $r$ 的上限依赖于 $\theta$，且 $\theta$ 范围受 $\cos\theta \ge 0$ 限制。
步骤 2/6
目标：将三重积分化为累次积分
在柱坐标下，体积元为 $r\,dr\,d\theta\,dz$，被积函数 $z^2$ 不变，因此积分化为：
$$I = \int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \int_{r=0}^{a\cos\theta} \int_{z=-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} z^2 \, dz \cdot r\, dr\, d\theta$$
公式：$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{a\cos\theta} \int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} z^2 \, r\, dz\, dr\, d\theta$
提示：注意柱坐标的雅可比行列式为 $r$，不要遗漏。
步骤 3/6
目标：对 $z$ 积分
先对 $z$ 积分，利用被积函数 $z^2$ 的偶函数性质：
$$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} z^2 \, dz = 2\int_{0}^{\sqrt{a^2-r^2}} z^2 \, dz = 2 \cdot \frac{1}{3} (a^2-r^2)^{3/2} = \frac{2}{3}(a^2-r^2)^{3/2}$$
代入得：
$$I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{a\cos\theta} \frac{2}{3} (a^2-r^2)^{3/2} \, r\, dr\, d\theta$$
公式：$\int_{-\sqrt{a^2-r^2}}^{\sqrt{a^2-r^2}} z^2 \, dz = \frac{2}{3}(a^2-r^2)^{3/2}$
提示：利用偶函数简化积分，注意 $z$ 的积分限对称。
步骤 4/6
目标：对 $r$ 积分
令 $u = a^2 - r^2$，则 $du = -2r\, dr$，即 $r\, dr = -\frac{1}{2} du$。当 $r=0$ 时 $u=a^2$，当 $r=a\cos\theta$ 时 $u = a^2 - a^2\cos^2\theta = a^2\sin^2\theta$。于是：
$$\int_{0}^{a\cos\theta} (a^2-r^2)^{3/2} r\, dr = \int_{u=a^2}^{a^2\sin^2\theta} u^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) du = \frac{1}{2} \int_{a^2\sin^2\theta}^{a^2} u^{3/2} du$$
计算得：
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} \left[ a^5 - (a^2\sin^2\theta)^{5/2} \right] = \frac{1}{5} \left( a^5 - a^5 |\sin\theta|^5 \right)$$
代入 $I$：
$$I = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left( a^5 - a^5 |\sin\theta|^5 \right) d\theta = \frac{2a^5}{15} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 - |\sin\theta|^5\right) d\theta$$
公式：$\int_{0}^{a\cos\theta} (a^2-r^2)^{3/2} r\, dr = \frac{1}{5} a^5 (1 - |\sin\theta|^5)$
提示：换元时注意积分限的变化，$|\sin\theta|^5$ 的出现是因为 $\sin^2\theta$ 的 $5/2$ 次方需取绝对值。
步骤 5/6
目标：对 $\theta$ 积分
被积函数 $1 - |\sin\theta|^5$ 是偶函数，区间对称，故：
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - |\sin\theta|^5) d\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^5\theta) d\theta$$
计算：
$$\int_{0}^{\pi/2} 1\, d\theta = \frac{\pi}{2}$$
$$\int_{0}^{\pi/2} \sin^5\theta\, d\theta = \frac{4}{5} \cdot \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{8}{15}$$
因此：
$$\int_{0}^{\pi/2} (1 - \sin^5\theta) d\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{8}{15}$$
$$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - |\sin\theta|^5) d\theta = 2\left(\frac{\pi}{2} - \frac{8}{15}\right) = \pi - \frac{16}{15}$$
公式：$\int_{0}^{\pi/2} \sin^5\theta\, d\theta = \frac{8}{15}$
提示：利用Wallis公式或递推公式计算 $\sin^n\theta$ 的定积分，注意 $n$ 为奇数时的结果。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将 $\theta$ 积分结果代入 $I$：
$$I = \frac{2a^5}{15} \left( \pi - \frac{16}{15} \right) = \frac{2a^5\pi}{15} - \frac{32a^5}{225}$$
通分得：
$$I = \frac{30a^5\pi - 32a^5}{225} = \frac{2a^5(15\pi - 16)}{225}$$
公式：$\boxed{\frac{2a^5(15\pi - 16)}{225}}$
提示：最终结果可化为最简分数形式，注意系数化简。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此 $I = \frac{2a^5}{15} \cdot \pi = \frac{2\pi a^5}{15}$。
提示：最终结果应化简为最简形式。
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