南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八．（15分）计算曲面积分
$$
I=\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，取曲面下侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解曲面与方向
曲面方程为 \(x^2 + y^2 = z^2\)，其中 \(0 \leq z \leq 1\)，这是一个开口向上的圆锥面，顶点在原点，高度到 \(z=1\)。取曲面下侧，即法向量指向下方，与 \(z\) 轴正方向成钝角，法向量的 \(z\) 分量为负。
公式：曲面：\(x^2 + y^2 = z^2, 0 \leq z \leq 1\)，方向：下侧
提示：注意区分曲面的侧，下侧意味着投影到 \(xOy\) 平面时，面积元 \(dxdy\) 的系数为负。
步骤 2/5
目标：补面并使用高斯公式
曲面不封闭，需补上顶面 \(S_1: z=1, x^2+y^2 \leq 1\)，取上侧，与锥面下侧构成封闭曲面的外侧。由高斯公式：
\[
\iint_{S \cup S_1} (x^2 dy dz + y^2 dz dx + z^2 dx dy) = \iiint_V \left( \frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2) \right) dV
\]
计算散度：
\[
\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x, \quad \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y, \quad \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z
\]
散度为 \(2(x+y+z)\)，故：
\[
\iint_{S \cup S_1} = \iiint_V 2(x+y+z) dV
\]
其中 \(V\) 为锥体：\(0 \leq z \leq 1\)，\(x^2+y^2 \leq z^2\)。
公式：高斯公式：\(\iint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} dV\)
提示：补面时注意方向要与原曲面构成外侧，顶面取上侧。
步骤 3/5
目标：计算三重积分
由于区域关于 \(x\) 和 \(y\) 对称，且被积函数中 \(x\) 和 \(y\) 为奇函数，故：
\[
\iiint_V 2x dV = 0, \quad \iiint_V 2y dV = 0
\]
只需计算 \(\iiint_V 2z dV\)。采用柱坐标：\(x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z\)，锥面为 \(r = z\)，区域：\(0 \leq \theta \leq 2\pi, 0 \leq z \leq 1, 0 \leq r \leq z\)，体积元 \(dV = r dr d\theta dz\)。
\[
\iiint_V 2z dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \int_0^z 2z \cdot r dr dz
\]
先对 \(r\) 积分：
\[
\int_0^z r dr = \frac{z^2}{2}
\]
代入得：
\[
2z \cdot \frac{z^2}{2} = z^3
\]
再对 \(z\) 积分：
\[
\int_0^1 z^3 dz = \frac{1}{4}
\]
最后乘以 \(2\pi\)：
\[
\iiint_V 2z dV = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}
\]
因此：
\[
\iint_{S \cup S_1} = \frac{\pi}{2}
\]
公式：柱坐标下三重积分：\(\iiint_V f dV = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \int_0^z f \cdot r dr dz\)
提示：利用对称性简化计算，奇函数在对称区域积分为零。
步骤 4/5
目标：计算顶面曲面积分
顶面 \(S_1: z=1, x^2+y^2 \leq 1\)，取上侧。由于 \(z=1\) 常数，\(dz=0\)，故 \(dy dz = 0\)，\(dz dx = 0\)，只剩下：
\[
\iint_{S_1} z^2 dx dy = \iint_{x^2+y^2 \leq 1} 1^2 dx dy = \text{圆的面积} = \pi
\]
上侧对应 \(dxdy\) 为正，故积分值为 \(\pi\)。
公式：顶面投影：\(\iint_{S_1} z^2 dx dy = \iint_{D} 1 dx dy = \pi\)，其中 \(D: x^2+y^2 \leq 1\)
提示：第二类曲面积分中，若曲面垂直于某坐标面，则对应坐标的积分项为零。
步骤 5/5
目标：得到原曲面积分结果
由高斯公式：
\[
\iint_{S \cup S_1} = \iint_S + \iint_{S_1} = \frac{\pi}{2}
\]
因此：
\[
\iint_S = \frac{\pi}{2} - \iint_{S_1} = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}
\]
故原曲面积分 \(I = -\frac{\pi}{2}\)。
公式：\(\iint_S = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\)
提示：注意符号：补面后需减去顶面贡献，且方向要一致。
步骤 6/6
目标：由封闭曲面结果求原积分
由高斯公式，封闭曲面积分等于 $\frac{\pi}{2}$，即
$$
\iint_S + \iint_{S_1} = \frac{\pi}{2}
$$
因此
$$
\iint_S = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}
$$
注意 $S$ 取下侧，$S_1$ 取上侧，构成外侧封闭曲面，符号处理正确。
公式：$I = -\frac{\pi}{2}$
提示：补面法求曲面积分时，最后要减去补面的积分，注意方向一致性。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，所求曲面积分为 $\boxed{-\dfrac{\pi}{2}}$。
提示：最终答案要加框。
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