南京理工大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-\lambda x]=0$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确证明目标与已知条件
要证明 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}[f(x)-\lambda x]=0$。
提示：注意极限条件仅给出正无穷远处的渐近行为，负无穷处需通过对称性处理或补充条件。
步骤 2/7
目标：利用极限条件控制正无穷远处的函数值
由 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}[f(x)-\lambda x]=0$，对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$，使得当 $x>M$ 时，$|f(x)-\lambda x|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。
公式：$|f(x)-\lambda x|<\dfrac{\varepsilon}{3},\quad \forall x>M$
提示：M 的选取依赖于 $\varepsilon$，后续将用于构造一致连续的 $\delta$。
步骤 3/7
目标：处理负无穷远处的函数值（利用对称性）
考虑 $x\to-\infty$ 的情形。令 $y=-x$，则 $y\to+\infty$，且 $f(x)-\lambda x = f(-y)-\lambda(-y) = f(-y)+\lambda y$。由已知极限，$\displaystyle\lim_{y\to\infty}[f(-y)+\lambda y]=0$，即 $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}[f(x)-\lambda x]=0$。因此存在 $N>0$，使得当 $x<-N$ 时，$|f(x)-\lambda x|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。
公式：$|f(x)-\lambda x|<\dfrac{\varepsilon}{3},\quad \forall x<-N$
提示：这里利用了极限的变量替换，注意符号变化。
步骤 4/7
目标：证明正无穷区间上的一致连续性
取 $\delta_1 = \dfrac{\varepsilon}{3(|\lambda|+1)}$（若 $\lambda=0$，则取 $\delta_1=\dfrac{\varepsilon}{3}$）。对任意 $x_1,x_2>M$，若 $|x_1-x_2|<\delta_1$，则
\[
|f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-\lambda x_1|+|\lambda x_1-\lambda x_2|+|\lambda x_2-f(x_2)|
< \dfrac{\varepsilon}{3}+|\lambda|\delta_1+\dfrac{\varepsilon}{3} < \varepsilon.
\]
故 $f$ 在 $[M,\infty)$ 上一致连续。
公式：$|f(x_1)-f(x_2)| < \dfrac{2\varepsilon}{3}+|\lambda|\delta_1 < \varepsilon$
提示：注意三角不等式的应用，以及 $\delta_1$ 的选取要保证 $|\lambda|\delta_1<\varepsilon/3$。
步骤 5/7
目标：证明负无穷区间上的一致连续性
同理，取相同的 $\delta_1$，对任意 $x_1,x_2<-N$，若 $|x_1-x_2|<\delta_1$，则
\[
|f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-\lambda x_1|+|\lambda x_1-\lambda x_2|+|\lambda x_2-f(x_2)|
< \dfrac{\varepsilon}{3}+|\lambda|\delta_1+\dfrac{\varepsilon}{3} < \varepsilon.
\]
故 $f$ 在 $(-\infty,-N]$ 上一致连续。
公式：同上
提示：负无穷处的证明与正无穷完全对称，只需利用第3步得到的控制。
步骤 6/7
目标：处理有限闭区间上的情形
取 $K = \max\{M,N\}$，则 $f$ 在闭区间 $[-K,K]$ 上连续，从而一致连续。因此存在 $\delta_2>0$，使得对任意 $x_1,x_2\in[-K,K]$，只要 $|x_1-x_2|<\delta_2$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$。
提示：闭区间上连续函数必一致连续，这是经典结论。
步骤 7/7
目标：综合三个区间，得到整体一致连续性
取 $\delta = \min\{\delta_1,\delta_2,1\}$。对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，若 $|x_1-x_2|<\delta$，则分情况讨论：
- 若 $x_1,x_2$ 同属于 $[-K,K]$、$[K,\infty)$ 或 $(-\infty,-K]$，则由上述各区间的一致连续性直接得证。
- 若 $x_1,x_2$ 分属不同区间，由于 $\delta<1$，且区间端点相距至少 $1$，这种情况不可能发生（例如 $x_1\in[-K,K]$，$x_2>K$ 时 $|x_1-x_2|\ge 1$）。
因此，对任意 $x_1,x_2\in\mathbb{R}$，只要 $|x_1-x_2|<\delta$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$，即 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续。
提示：取 $\delta$ 为各区间 $\delta$ 的最小值，并限制不超过 $1$ 是为了避免跨区间的情况。
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