南京航空航天大学 2022年数学分析第1题

利用有理化方法： \[ \sqrt{1+x} - \sqrt{1-x} = \frac{(1+x)-(1-x)}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \] 代入原分母： \[ x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}) = x^{3} \cdot \frac{2x}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} = \frac{2x^{4}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}} \] 原极限变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{\frac{2x^{4}}{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}} = \lim_{x \to 0} \frac{(x^{2}-\sin^{2}x)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})}{2x^{4}} \]

由于当x→0时，\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x} → 2，根据极限的乘法法则，可将极限写为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{2x^{4}} \cdot \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}) = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{2x^{4}} \cdot 2 = \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{4}} \]

将sin x展开到足够高阶： \[ \sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \cdots \] 平方后计算至x⁴项： \[ \sin^{2}x = \left(x - \frac{x^{3}}{6} + \cdots\right)^{2} = x^{2} - \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}) \] 因此： \[ x^{2} - \sin^{2}x = \frac{x^{4}}{3} + O(x^{6}) \]

将展开结果代入： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x^{2}-\sin^{2}x}{x^{4}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^{4}}{3} + O(x^{6})}{x^{4}} = \frac{1}{3} \] 故第一题答案为 \boxed{\frac{1}{3}}。

考虑极限： \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sec^{2} \frac{i\pi}{4} \] 注意角度 \frac{i\pi}{4} 随i增大而增大，但步长固定为 \pi/4。函数 \sec^{2}\theta 的周期为 \pi。由于 \pi/4 与 \pi 之比为有理数1/4，角度模 \pi 只取四个值：0, \pi/4, \pi/2, 3\pi/4，并循环出现。

对于任意n≥2，求和项中必然包含i=2，此时角度为π/2，\sec^{2}(\pi/2) 为无穷大。因此对任意n≥2，部分和 \sum_{i=1}^{n} \sec^{2}(i\pi/4) 为无穷大，其平均值 \frac{1}{n} 乘以无穷大仍为无穷大。故极限为 \boxed{+\infty}。

实际上，直接利用黎曼和定义： $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sec^2\left(\frac{i\pi}{4n}\right) = \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx \cdot \frac{4}{\pi}?$$ 更准确：令 $x_i = \frac{i\pi}{4n}$，则 $\Delta x = \frac{\pi}{4n}$，所以 $\frac{1}{n} = \frac{4}{\pi} \Delta x$，因此原式 $= \frac{4}{\pi} \sum_{i=1}^n \sec^2(x_i) \Delta x \to \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = \frac{4}{\pi} \left[ \tan x \right]_0^{\pi/4} = \frac{4}{\pi} \cdot 1 = \frac{4}{\pi}$。但常见题目中系数为 $\frac{\pi}{4n}$ 时结果为 $1$。此处按原题形式，若为 $\frac{i\pi}{4n}$，则极限为 $\frac{4}{\pi}$。但很多教材中直接写 $\frac{1}{n} \sum \sec^2(\frac{i\pi}{4n})$ 的极限是 $\int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = 1$，因为步长是 $\frac{\pi}{4n}$，但和式前是 $\frac{1}{n}$，所以需要调整。实际上，若 $\Delta x = \frac{\pi}{4n}$，则 $\frac{1}{n} = \frac{4}{\pi} \Delta x$，所以极限是 $\frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = \frac{4}{\pi}$。但常见错误是直接认为 $\frac{1}{n} \sum f(\frac{i}{n})$ 形式，这里自变量是 $\frac{i\pi}{4n}$，所以不是标准黎曼和。为与常见答案一致，我假设题目中应为 $\frac{i\pi}{4n}$ 且和式前为 $\frac{\pi}{4n}$，但原题是 $\frac{1}{n}$。因此，我按标准黎曼和解释：若 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sec^2\left(\frac{i\pi}{4n}\right)$，则极限为 $\frac{4}{\pi}$。但很多资料中直接写 $\frac{1}{n} \sum \sec^2(\frac{i\pi}{4n}) \to \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = 1$ 是错误的，因为步长不是 $1/n$。因此，我在此给出正确推导： $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sec^2\left(\frac{i\pi}{4n}\right) = \frac{4}{\pi} \int_0^{\pi/4} \sec^2 x \, dx = \frac{4}{\pi}$$