📝 南京航空航天大学 2022年数学分析真题
第1题
1．（12 分）（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sec ^{2} \frac{i \pi}{4}$ ．
（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sec ^{2} \frac{i \pi}{4}$ ．
第2题
2．（13 分）（1）写出数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的定义．
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的充分必要条件是存在 $\displaystyle \varepsilon_{0}>0$ 和子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right| \geq \varepsilon_{0}$.
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的充分必要条件是存在 $\displaystyle \varepsilon_{0}>0$ 和子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right| \geq \varepsilon_{0}$.
第3题
3．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \frac{M(b-a)^{2}}{4}
$$
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \frac{M(b-a)^{2}}{4}
$$
第4题
4．（13 分）试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使得 $\displaystyle \cot x=\frac{1+a x^{2}}{x+b x^{3}}+O\left(x^{5}\right),(x \rightarrow 0)$ ．
第5题
5．（12 分）计算曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \sqrt{\sin t} d t$ 的全长．
第6题
6．（13 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{p}} d x$ 的收敛性和绝对收敛性．
第7题
7．（12 分）（1）对任意的 $\displaystyle x \in D, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ ，并且 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq a_{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。
第9题
9．（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的连续性，偏导数与方向导数的存在性．
第10题
10．（13 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)=e^{-x}\left(a x+b-y^{2}\right), a>0, b>0$ ，问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，
$\displaystyle f(-1,0)$ 为其极值，并判断是极大值还是极小值．
$\displaystyle f(-1,0)$ 为其极值，并判断是极大值还是极小值．
第11题
11．（12 分）计算累次积分 $\displaystyle I=\int_{-1}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{d z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
第12题
12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数．
（1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。
（1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。