南京航空航天大学 2022年数学分析第9题

要判断函数在原点是否连续，需验证极限 \(\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0\)。由于 \(|y \sin\frac{1}{x^2+y^2}| \le |y|\)，且 \(|y|\to 0\) 当 \((x,y)\to(0,0)\)，由夹逼定理得极限为0，故连续。

由偏导数定义：\(f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)。当 \(h\neq 0\) 时，\(f(h,0)=0\cdot\sin\frac{1}{h^2}=0\)，差商为0，极限为0，故 \(f_x(0,0)=0\) 存在。

由偏导数定义：\(f_y(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}\)。当 \(k\neq 0\) 时，\(f(0,k)=k\sin\frac{1}{k^2}\)，差商为 \(\sin\frac{1}{k^2}\)。当 \(k\to 0\) 时，\(\sin\frac{1}{k^2}\) 振荡无极限，故 \(f_y(0,0)\) 不存在。

设方向单位向量 \(\mathbf{l}=(\cos\theta,\sin\theta)\)，方向导数为 \(\lim_{t\to 0}\frac{f(t\cos\theta,t\sin\theta)-0}{t}\)。代入函数得 \(f(t\cos\theta,t\sin\theta)=t\sin\theta\cdot\sin\frac{1}{t^2}\)，差商为 \(\sin\theta\cdot\sin\frac{1}{t^2}\)。当 \(t\to 0\) 时，\(\sin\frac{1}{t^2}\) 振荡，仅当 \(\sin\theta=0\)（即沿x轴方向）时极限为0，否则不存在。

函数在原点连续；偏导数 \(f_x(0,0)=0\) 存在，\(f_y(0,0)\) 不存在；方向导数仅当方向为x轴方向（\(\theta=0\) 或 \(\pi\)）时存在且值为0，其他方向不存在。

若 $\sin\theta\neq 0$，则 $f(t\cos\theta, t\sin\theta)=t\sin\theta \sin\frac{1}{t^2}$，于是 $\frac{f}{t} = \sin\theta \sin\frac{1}{t^2}$，当 $t\to 0$ 时，$\sin\frac{1}{t^2}$ 振荡，极限不存在。

因此，只有当方向沿 $x$ 轴（即 $\sin\theta=0$）时方向导数存在（为 $0$），其他方向不存在。