南京航空航天大学 2022年数学分析第7题
📝 题目
7．（12 分）（1）对任意的 $\displaystyle x \in D, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ ，并且 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq a_{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明函数列一致收敛的充分条件
根据一致收敛的定义，对任意 $\varepsilon>0$，需要找到 $N$，使得当 $n>N$ 时，对所有 $x\in D$ 都有 $|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon$。已知条件 $|f_n(x)-f(x)|\le a_n$ 且 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$，因此对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时 $a_n<\varepsilon$。于是对同样的 $n$ 和任意 $x\in D$，有 $|f_n(x)-f(x)|\le a_n<\varepsilon$，满足一致收敛定义。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists N, \forall n>N, \forall x\in D: |f_n(x)-f(x)|\le a_n<\varepsilon$
提示：注意 $a_n$ 与 $x$ 无关，这是从逐点收敛到一致收敛的关键条件。
步骤 2/4
目标：确定第二问的极限函数
对每个固定的 $x\in[0,+\infty)$，计算 $\lim_{n\to\infty}f_n(x)$。当 $x=0$ 时，$f_n(0)=0$；当 $x>0$ 时，分母 $1+nx^3\to\infty$，故 $f_n(x)\to0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0$。
公式：$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=0,\quad \forall x\in[0,+\infty)$
提示：逐点收敛是基础，但一致收敛需要更强的条件。
步骤 3/4
目标：构造并分析函数 $g_n(x)$ 的最大值
令 $g_n(x)=\frac{x^2}{1+nx^3}$，$x\ge0$。为证一致收敛，需证 $\sup_{x\ge0}|f_n(x)-0|\to0$。求导得 $g_n'(x)=\frac{2x(1+nx^3)-x^2\cdot3nx^2}{(1+nx^3)^2}=\frac{2x+2nx^4-3nx^4}{(1+nx^3)^2}=\frac{2x-nx^4}{(1+nx^3)^2}$。令导数为零：$2x-nx^4=0$，即 $x(2-nx^3)=0$，解得 $x=0$ 或 $x^3=\frac{2}{n}$。
公式：$g_n'(x)=\frac{2x-nx^4}{(1+nx^3)^2}$，驻点 $x=\sqrt[3]{\frac{2}{n}}$
提示：求导时注意分母平方，分子化简要仔细。
步骤 4/4
目标：计算最大值并证明一致收敛
由于 $g_n(0)=0$，且当 $x\to+\infty$ 时 $g_n(x)\to0$，最大值在驻点 $x=\sqrt[3]{\frac{2}{n}}$ 处取得。代入得 $g_n\left(\sqrt[3]{\frac{2}{n}}\right)=\frac{(2/n)^{2/3}}{1+n\cdot(2/n)}=\frac{2^{2/3}/n^{2/3}}{1+2}=\frac{2^{2/3}}{3n^{2/3}}$。因此 $\sup_{x\ge0}|f_n(x)-0|=\frac{2^{2/3}}{3n^{2/3}}\to0$（$n\to\infty$），由定义知一致收敛于0。
公式：$\sup_{x\ge0}|f_n(x)-0|=\frac{2^{2/3}}{3n^{2/3}}\to0$
提示：最大值趋于0是证明一致收敛的常用方法，注意验证端点行为。
步骤 5/6
目标：求函数 $f_n(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上的最大值
令 $g_n(x) = \frac{x^2}{1 + n x^3}$，$x \geq 0$。求导得 $g_n'(x) = \frac{2x(1 + n x^3) - x^2 \cdot 3n x^2}{(1 + n x^3)^2} = \frac{2x + 2n x^4 - 3n x^4}{(1 + n x^3)^2} = \frac{2x - n x^4}{(1 + n x^3)^2}$。令 $g_n'(x) = 0$，得 $x(2 - n x^3) = 0$，解得临界点 $x = 0$ 和 $x = \sqrt[3]{\frac{2}{n}}$。
公式：$g_n'(x) = \frac{2x - n x^4}{(1 + n x^3)^2}$
提示：求导时注意分母恒正，只需考虑分子为零的点。
步骤 6/6
目标：计算最大值并证明一致收敛
在 $x = 0$ 处，$g_n(0) = 0$。在 $x = \sqrt[3]{\frac{2}{n}}$ 处，$g_n\left(\sqrt[3]{\frac{2}{n}}\right) = \frac{(2/n)^{2/3}}{1 + n \cdot (2/n)} = \frac{(2/n)^{2/3}}{3} = \frac{2^{2/3}}{3} n^{-2/3}$。由于 $g_n(x) \geq 0$ 且 $g_n(x)$ 在 $[0, +\infty)$ 上连续，最大值即为该点值。因此 $\sup_{x \geq 0} |f_n(x) - 0| = \frac{2^{2/3}}{3} n^{-2/3}$。当 $n \to \infty$ 时，$\frac{2^{2/3}}{3} n^{-2/3} \to 0$，故函数列在 $[0, +\infty)$ 上一致收敛于 0。
公式：$\sup_{x \geq 0} |f_n(x)| = \frac{2^{2/3}}{3} n^{-2/3} \to 0$
提示：一致收敛的充要条件是 $\sup_{x \in D} |f_n(x) - f(x)| \to 0$，这里通过求最大值得到上确界。
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