南京航空航天大学 2022年数学分析第10题
📝 题目
10．（13 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)=e^{-x}\left(a x+b-y^{2}\right), a>0, b>0$ ，问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，
$\displaystyle f(-1,0)$ 为其极值，并判断是极大值还是极小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶偏导数并令其在点(-1,0)处为零，得到必要条件
首先对 $f(x,y)=e^{-x}(ax+b-y^2)$ 求关于 $x$ 的偏导数：
$$f_x = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^{-x}(ax+b-y^2)\right] = -e^{-x}(ax+b-y^2) + e^{-x}\cdot a = e^{-x}(-ax - b + y^2 + a)$$
代入点 $(-1,0)$：
$$f_x(-1,0) = e^{1}\left(-a(-1)-b+0+a\right) = e(a - b + a) = e(2a - b)$$
令其为零得 $2a - b = 0$，即 $b = 2a$。
再求关于 $y$ 的偏导数：
$$f_y = e^{-x}\cdot(-2y)$$
代入 $(-1,0)$ 得 $f_y(-1,0)=0$，自动满足。
公式：f_x(-1,0)=e(2a-b)=0 \Rightarrow b=2a
提示：注意 $e^{-x}$ 在 $x=-1$ 处为 $e$，不要漏掉指数因子。
步骤 2/4
目标：计算二阶偏导数，为极值判别做准备
计算二阶偏导数：
$$f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\left[e^{-x}(-ax - b + y^2 + a)\right] = -e^{-x}(-ax - b + y^2 + a) + e^{-x}(-a) = e^{-x}(ax + b - y^2 - 2a)$$
代入 $(-1,0)$ 且 $b=2a$：
$$f_{xx}(-1,0) = e^{1}\left(a(-1)+2a-0-2a\right) = e(-a+2a-2a) = -ae$$
混合偏导：
$$f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}f_x = e^{-x}\cdot(2y) \quad \Rightarrow \quad f_{xy}(-1,0)=0$$
二阶纯 $y$ 偏导：
$$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\left[e^{-x}(-2y)\right] = -2e^{-x} \quad \Rightarrow \quad f_{yy}(-1,0) = -2e$$
公式：f_{xx}(-1,0)=-ae,\; f_{xy}(-1,0)=0,\; f_{yy}(-1,0)=-2e
提示：计算 $f_{xx}$ 时注意对乘积求导，不要遗漏项。
步骤 3/4
目标：利用二阶偏导数判别法判断极值类型
记 $A = f_{xx}(-1,0) = -ae$，$B = f_{xy}(-1,0) = 0$，$C = f_{yy}(-1,0) = -2e$。
计算判别式：
$$AC - B^2 = (-ae)(-2e) - 0 = 2ae^2$$
由于 $a>0$，$e>0$，故 $AC - B^2 > 0$，且 $A = -ae < 0$，根据二元函数极值判别法，点 $(-1,0)$ 为极大值点。
公式：AC-B^2=2ae^2>0,\; A<0 \Rightarrow \text{极大值}
提示：判别式 $AC-B^2>0$ 时，极值存在，符号由 $A$ 决定：$A>0$ 极小，$A<0$ 极大。
步骤 4/4
目标：总结条件与结论
当 $b = 2a$（且 $a>0, b>0$）时，$f(-1,0)$ 是函数的极值，且为极大值。
公式：b=2a,\; f(-1,0) \text{为极大值}
提示：注意题目已给定 $a>0,b>0$，因此 $b=2a$ 自动满足 $b>0$。
步骤 5/5
目标：计算判别式并判断极值类型
判别式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-ae)(-2e) - 0 = 2a e^2$。由于 $a>0$，$D>0$，且 $f_{xx} = -ae < 0$，因此点 $(-1,0)$ 是极大值点。
公式：$D = 2a e^2 > 0$, $f_{xx} < 0$ 故为极大值
提示：判别式 $D>0$ 且 $f_{xx}<0$ 时取极大值，$f_{xx}>0$ 时取极小值。
步骤 6/7
目标：利用判别式判断极值类型
判别式 $\Delta = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-a e)(-2e) - 0 = 2a e^2 > 0$（因为 $a>0$）。由于 $f_{xx} = -a e < 0$，所以 $f(-1,0)$ 是极大值。
公式：$\Delta = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$, 若 $\Delta>0$ 且 $f_{xx}<0$ 则为极大值
提示：注意判别式大于0时，极值类型由 $f_{xx}$ 的符号决定。
步骤 7/7
目标：得出结论
当 $b = 2a$ 时，$f(-1,0)$ 为极值，且是极大值。
提示：最终答案要明确参数条件和极值类型。
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