南京航空航天大学 2022年数学分析第3题
📝 题目
3．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，$\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)=0$ ，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) d x\right| \leq \frac{M(b-a)^{2}}{4}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确条件和目标
已知：\( f(x) \) 在 \([a,b]\) 上可导；\( f\left( \frac{a+b}{2} \right) = 0 \)；对所有 \( x \in [a,b] \)，有 \( |f'(x)| \le M \)。要证明：\(\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac{M (b-a)^2}{4}\)。
公式：\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \frac{M (b-a)^2}{4}
提示：注意中点的函数值为零，这是后续拆分和估计的关键。
步骤 2/5
目标：利用中点拆分积分区间
记 \(c = \frac{a+b}{2}\)，将积分拆分为两段：\(\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\)。
公式：c = \frac{a+b}{2}, \quad \int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx
提示：拆分后分别估计两段，利用中点函数值为零简化。
步骤 3/5
目标：用拉格朗日中值定理估计函数绝对值
对任意 \(x \in [a,c]\)，由拉格朗日中值定理，存在介于 \(x\) 与 \(c\) 之间的 \(\xi\)，使得 \(f(x) = f(c) + f'(\xi)(x-c) = f'(\xi)(x-c)\)。由于 \(|f'(\xi)| \le M\) 且 \(x-c \le 0\)，得 \(|f(x)| \le M(c-x)\)。同理，对任意 \(x \in [c,b]\)，有 \(|f(x)| \le M(x-c)\)。
公式：|f(x)| \le M|x-c| = \begin{cases} M(c-x), & x \in [a,c] \\ M(x-c), & x \in [c,b] \end{cases}
提示：注意中值定理中 \(f(c)=0\) 的条件，以及绝对值处理时 \(x-c\) 的符号。
步骤 4/5
目标：分别估计两段积分的绝对值
左半段：\(\left| \int_a^c f(x)\,dx \right| \le \int_a^c |f(x)|\,dx \le \int_a^c M(c-x)\,dx = M \cdot \frac{(c-a)^2}{2}\)。由于 \(c-a = \frac{b-a}{2}\)，得 \(\frac{(c-a)^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{8}\)，所以 \(\left| \int_a^c f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{8}\)。
右半段：\(\left| \int_c^b f(x)\,dx \right| \le \int_c^b M(x-c)\,dx = M \cdot \frac{(b-c)^2}{2}\)，而 \(b-c = \frac{b-a}{2}\)，同样得 \(\frac{(b-c)^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{8}\)，所以 \(\left| \int_c^b f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{8}\)。
公式：\left| \int_a^c f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{8}, \quad \left| \int_c^b f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{8}
提示：计算定积分时注意上下限代入，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：合并两段估计得到最终不等式
由三角不等式：\(\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \le \left| \int_a^c f(x)\,dx \right| + \left| \int_c^b f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{8} + \frac{M(b-a)^2}{8} = \frac{M(b-a)^2}{4}\)。证毕。
公式：\left| \int_a^b f(x)\,dx \right| \le \frac{M(b-a)^2}{4}
提示：三角不等式是积分绝对值估计的常用技巧，注意等号成立条件（如 \(f(x)\) 为线性函数且导数为常数 \(\pm M\)）。
步骤 6/6
目标：得出最终不等式
将上一步结果代入 $\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le M \cdot \frac{(b-a)^2}{4}$，即得证。
公式：\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \le \frac{M(b-a)^2}{4}
提示：检查等号成立条件：$f(x)$ 线性且导数为 $\pm M$ 时取等。
步骤 7/8
目标：代入中点关系化简
由于 $c = \frac{a+b}{2}$，则 $c-a = b-c = \frac{b-a}{2}$，所以 $\frac{(c-a)^2}{2} + \frac{(b-c)^2}{2} = \frac{(b-a)^2}{4}$。
提示：计算平方和时注意系数。
步骤 8/8
目标：得出最终不等式
因此 $\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq M \cdot \frac{(b-a)^2}{4} = \frac{M(b-a)^2}{4}$。
提示：最终结果与题目一致，注意等号成立条件。
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