南京航空航天大学 2022年数学分析第5题
📝 题目
5．（12 分）计算曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \sqrt{\sin t} d t$ 的全长．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定自变量的范围
被积函数为 \(\sqrt{\sin t}\)，要求 \(\sin t \ge 0\)，解得 \(t \in [2k\pi, (2k+1)\pi], k \in \mathbb{Z}\)。取第一个非负区间 \(x \in [0, \pi]\) 作为曲线的一段。
公式：\sin t \ge 0 \Rightarrow t \in [2k\pi, (2k+1)\pi]
提示：注意根号内非负，通常考虑一个完整周期，如 \([0,\pi]\)。
步骤 2/4
目标：写出弧长公式
曲线由 \(y = \int_0^x \sqrt{\sin t}\,dt\) 给出，则 \(\frac{dy}{dx} = \sqrt{\sin x}\)。弧长公式为 \(L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2}\,dx\)，代入得 \(L = \int_0^\pi \sqrt{1 + \sin x}\,dx\)。
公式：L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx
提示：注意 \(\frac{dy}{dx}\) 由积分上限求导得到。
步骤 3/4
目标：化简被积函数
利用恒等式 \(1 + \sin x = \sin^2\frac{x}{2} + \cos^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)^2\)，因此 \(\sqrt{1+\sin x} = \left|\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right|\)。在 \(x \in [0,\pi]\) 上，\(\frac{x}{2} \in [0,\pi/2]\)，\(\sin\) 和 \(\cos\) 均非负，故绝对值可去掉：\(\sqrt{1+\sin x} = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\)。
公式：1 + \sin x = \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)^2
提示：注意区间内三角函数的符号，确保去掉绝对值时不改变符号。
步骤 4/4
目标：计算积分
积分 \(L = \int_0^\pi \left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) dx\)。分别积分：\(\int \sin\frac{x}{2}\,dx = -2\cos\frac{x}{2}\)，\(\int \cos\frac{x}{2}\,dx = 2\sin\frac{x}{2}\)。代入上下限：\(x=\pi\) 时，\(-2\cos\frac{\pi}{2} + 2\sin\frac{\pi}{2} = 0 + 2 = 2\)；\(x=0\) 时，\(-2\cos 0 + 2\sin 0 = -2 + 0 = -2\)。相减得 \(L = 2 - (-2) = 4\)。
公式：\int \sin\frac{x}{2}\,dx = -2\cos\frac{x}{2},\quad \int \cos\frac{x}{2}\,dx = 2\sin\frac{x}{2}
提示：积分时注意系数，代入上下限要仔细计算。
步骤 5/5
目标：代入上下限并得出结果
当 $x=\pi$ 时，$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}$，得 $-2\cdot 0 + 2\cdot 1 = 2$；当 $x=0$ 时，得 $-2\cdot 1 + 2\cdot 0 = -2$。相减得 $L = 2 - (-2) = 4$。
提示：计算时小心符号，避免出错。
步骤 6/6
目标：得出最终答案
曲线 $y = \int_0^x \sqrt{\sin t} \, dt$ 在 $x \in [0,\pi]$ 上的全长为 $4$。
提示：如果考虑多个周期，弧长会乘以周期数，但题目通常默认一个周期。
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