南京航空航天大学 2022年数学分析第6题

当 $x \to 0^+$ 时，$\sin(x^2) \sim x^2$，因此被积函数 $\frac{\sin(x^2)}{x^p} \sim \frac{x^2}{x^p} = x^{2-p}$。积分 $\int_0^1 x^{2-p} dx$ 在 $x=0$ 附近收敛当且仅当 $2-p > -1$，即 $p < 3$。所以当 $p < 3$ 时，$x=0$ 附近积分收敛；当 $p \ge 3$ 时，$x=0$ 附近积分发散。

考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x^2)}{x^p} dx$。令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}$。代入得： $$\frac{\sin(x^2)}{x^p} dx = \frac{\sin t}{t^{p/2}} \cdot \frac{dt}{2\sqrt{t}} = \frac{1}{2} \frac{\sin t}{t^{(p+1)/2}} dt$$ 因此无穷远处积分化为 $\frac{1}{2} \int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^{(p+1)/2}} dt$。

积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin t}{t^\alpha} dt$ 当 $\alpha > 0$ 时条件收敛（由狄利克雷判别法：$\sin t$ 的有界变差与 $t^{-\alpha}$ 单调趋于 0）。这里 $\alpha = \frac{p+1}{2}$，因此条件收敛要求 $\frac{p+1}{2} > 0$，即 $p > -1$。

绝对收敛要求 $\int_1^{+\infty} \left| \frac{\sin t}{t^\alpha} \right| dt$ 收敛。由于 $|\sin t| \le 1$，且 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^\alpha} dt$ 收敛当且仅当 $\alpha > 1$。因此绝对收敛条件为 $\frac{p+1}{2} > 1$，即 $p > 1$。

综合 $x=0$ 附近条件 $p < 3$ 和无穷远处条件： - 条件收敛要求 $p > -1$，故整体条件收敛区间为 $-1 < p < 3$。 - 绝对收敛要求 $p > 1$，故整体绝对收敛区间为 $1 < p < 3$。 当 $p \le -1$ 时，无穷远处发散；当 $p \ge 3$ 时，$x=0$ 附近发散。其他情况均发散。

整体积分收敛要求两部分都收敛：$x=0$ 附近要求 $p<3$，无穷远处要求 $p>-1$，故收敛区间为 $-1 < p < 3$。 绝对收敛要求两部分都绝对收敛：$x=0$ 附近由于 $\sin(x^{2}) \sim x^{2}$ 不变号，绝对收敛条件与条件收敛相同，即 $p<3$；无穷远处绝对收敛要求 $p>1$。故绝对收敛区间为 $1 < p < 3$。

综上： - 当 $-1 < p < 3$ 时，积分收敛； - 当 $p \le -1$ 或 $p \ge 3$ 时，积分发散； - 当 $1 < p < 3$ 时，积分绝对收敛； - 当 $-1 < p \le 1$ 时，积分条件收敛。