南京航空航天大学 2022年数学分析第2题
📝 题目
2．（13 分）（1）写出数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的定义．
（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 不收敛到 $a$ 的充分必要条件是存在 $\displaystyle \varepsilon_{0}>0$ 和子列 $\displaystyle \left\{a_{n_{k}}\right\}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n_{k}}-a\right| \geq \varepsilon_{0}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出数列不收敛到a的定义
首先回忆数列收敛到a的定义：对于任意给定的ε>0，都存在正整数N，使得当n>N时，都有|a_n - a| < ε。其否定即不收敛到a的定义：存在某个ε₀>0，使得对于任意正整数N，总能找到某个n>N，满足|a_n - a| ≥ ε₀。
公式：∃ε₀>0, ∀N∈ℕ, ∃n>N, |a_n - a| ≥ ε₀
提示：注意否定时量词的变化：全称变存在，存在变全称，且不等式方向取反。
步骤 2/5
目标：明确要证明的充要条件
要证明：数列{a_n}不收敛到a当且仅当存在ε₀>0和一个子列{a_{n_k}}，使得对于所有k，有|a_{n_k} - a| ≥ ε₀。
公式：不收敛到a ⟺ ∃ε₀>0, ∃子列{a_{n_k}}, ∀k, |a_{n_k} - a| ≥ ε₀
提示：分清必要性和充分性两个方向。
步骤 3/5
目标：证明必要性：由不收敛构造子列
由不收敛的定义，存在某个ε₀>0，使得对任意正整数N，都存在某个n>N满足|a_n - a| ≥ ε₀。取N₁=1，则存在n₁>1使得|a_{n₁} - a| ≥ ε₀；再取N₂=n₁，则存在n₂>n₁使得|a_{n₂} - a| ≥ ε₀；依此类推，得到严格递增的正整数序列n₁
公式：n₁ > 1, |a_{n₁} - a| ≥ ε₀; n₂ > n₁, |a_{n₂} - a| ≥ ε₀; ...
提示：构造子列时注意下标严格递增，利用定义中“对任意N”反复选取。
步骤 4/5
目标：证明充分性：由子列反证不收敛
假设存在ε₀>0和子列{a_{n_k}}，使得对每个k都有|a_{n_k} - a| ≥ ε₀。如果数列{a_n}收敛到a，那么由收敛定义，对这个ε₀，应该存在某个N，使得所有n>N都满足|a_n - a| < ε₀。但子列下标n_k无限增大，总会有某个n_k > N，而此时却有|a_{n_k} - a| ≥ ε₀，矛盾。因此数列不可能收敛到a，即不收敛到a。
公式：若收敛，则∀ε>0, ∃N, ∀n>N, |a_n - a| < ε；取ε=ε₀，与子列条件矛盾。
提示：充分性常用反证法，利用收敛定义推出矛盾。
步骤 5/5
目标：总结充要条件
必要性通过构造子列得到，充分性用反证法由收敛定义推出矛盾。因此，数列不收敛到a的充分必要条件是存在ε₀>0和子列{a_{n_k}}满足|a_{n_k} - a| ≥ ε₀。
公式：不收敛到a ⟺ ∃ε₀>0, ∃子列{a_{n_k}}, |a_{n_k} - a| ≥ ε₀
提示：此结论是分析中处理不收敛问题的常用工具，注意与收敛定义的否定等价。
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