南京航空航天大学 2022年数学分析第11题
📝 题目
11．（12 分）计算累次积分 $\displaystyle I=\int_{-1}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{d z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域并识别几何意义
积分限为：$x$ 从 $-1$ 到 $1$；对每个 $x$，$y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{1-x^2}$，因此 $(x,y)$ 位于上半圆盘 $x^2+y^2\le 1,\ y\ge 0$；对每个 $(x,y)$，$z$ 从 $1$ 到 $1+\sqrt{1-x^2-y^2}$。顶部曲面 $z=1+\sqrt{1-x^2-y^2}$ 是球心在 $(0,0,1)$、半径为 $1$ 的上半球面，底部是平面 $z=1$，所以积分区域是半个半球体（$y\ge 0$ 部分）。
公式：顶部曲面方程：$x^2+y^2+(z-1)^2=1,\ z\ge 1$
提示：注意 $y\ge 0$ 的限制，区域不是完整的半球体。
步骤 2/6
目标：变量平移简化区域
令 $u=x,\ v=y,\ w=z-1$，则区域变为：$u^2+v^2\le 1,\ v\ge 0$，$w$ 从 $0$ 到 $\sqrt{1-u^2-v^2}$，即球心在原点、半径为 $1$ 的上半球体（$w\ge 0$）且 $v\ge 0$ 的部分。被积函数变为 $\frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+(w+1)^2}}$。
公式：$I = \iiint_{D} \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2+(w+1)^2}}\, du\, dv\, dw$，$D: u^2+v^2+w^2\le 1,\ w\ge 0,\ v\ge 0$
提示：平移后球心移到原点，但被积函数分母中出现 $(w+1)$，仍需进一步处理。
步骤 3/6
目标：采用球坐标变换
在 $uvw$ 空间中引入球坐标：$u = r\sin\theta\cos\phi,\ v = r\sin\theta\sin\phi,\ w = r\cos\theta$，其中 $r\in[0,1]$，$\theta\in[0,\pi/2]$（因为 $w\ge 0$），$\phi\in[0,\pi]$（因为 $v\ge 0$ 即 $\sin\phi\ge 0$）。体积元 $dV = r^2\sin\theta\, dr\, d\theta\, d\phi$。被积函数化为 $\frac{1}{\sqrt{r^2+1+2r\cos\theta}}$。
公式：$I = \int_{\phi=0}^{\pi}\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \frac{r^2\sin\theta}{\sqrt{r^2+1+2r\cos\theta}}\, dr\, d\theta\, d\phi$
提示：注意 $\phi$ 的范围由 $v\ge 0$ 决定，是 $[0,\pi]$ 而不是 $[0,2\pi)$。
步骤 4/6
目标：对 $\phi$ 积分
被积函数与 $\phi$ 无关，因此 $\int_0^\pi d\phi = \pi$，得到 $I = \pi \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \frac{r^2\sin\theta}{\sqrt{r^2+1+2r\cos\theta}}\, dr\, d\theta$。
公式：$I = \pi \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} \frac{r^2\sin\theta}{\sqrt{r^2+1+2r\cos\theta}}\, dr\, d\theta$
提示：这一步简化了积分重数。
步骤 5/6
目标：对 $\theta$ 积分（换元法）
固定 $r$，令 $t = \cos\theta$，则 $dt = -\sin\theta\, d\theta$，当 $\theta=0$ 时 $t=1$，$\theta=\pi/2$ 时 $t=0$。于是内层积分化为 $\int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{r^2+1+2rt}}$。计算得 $\frac{1}{r}\left[\sqrt{r^2+1+2r} - \sqrt{r^2+1}\right] = \frac{1}{r}\left(r+1 - \sqrt{r^2+1}\right)$。
公式：$\int_{0}^{1} \frac{dt}{\sqrt{r^2+1+2rt}} = \frac{1}{r}\left(r+1 - \sqrt{r^2+1}\right)$
提示：注意 $\sqrt{r^2+1+2r} = r+1$（$r\ge 0$），避免符号错误。
步骤 6/6
目标：对 $r$ 积分并化简
代入后得 $I = \pi \int_{0}^{1} r^2 \cdot \frac{1}{r}\left(r+1 - \sqrt{r^2+1}\right) dr = \pi \int_{0}^{1} r\left(r+1 - \sqrt{r^2+1}\right) dr$。拆分为三个积分：$\pi\left(\int_0^1 r^2 dr + \int_0^1 r\, dr - \int_0^1 r\sqrt{r^2+1}\, dr\right)$。分别计算：$\int_0^1 r^2 dr = \frac13$，$\int_0^1 r\, dr = \frac12$，$\int_0^1 r\sqrt{r^2+1}\, dr = \frac13(2\sqrt{2}-1)$。合并得 $I = \pi\left(\frac13+\frac12-\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac13\right) = \pi\left(\frac{7}{6} - \frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = \frac{\pi(7-4\sqrt{2})}{6}$。
公式：$I = \frac{\pi(7-4\sqrt{2})}{6}$
提示：计算 $\int r\sqrt{r^2+1}\, dr$ 时用 $u=r^2+1$ 换元，注意积分限变化。
步骤 7/7
目标：乘以$\pi$得到最终结果
因此$I=\pi\left(\frac76-\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{\pi}{6}(7-4\sqrt2)$。
公式：I=\frac{\pi}{6}(7-4\sqrt2)
提示：最终结果可化简为$\frac{\pi}{6}(7-4\sqrt2)$，注意检查符号。
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