南京航空航天大学 2022年数学分析第12题
📝 题目
12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数．
（1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾曲线积分与路径无关的充要条件
对于曲线积分 $\int_L P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy$，在单连通区域内与路径无关的充要条件是 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$。本题中 $P(x,y)=2xy$。
公式：\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}
提示：注意检查区域是否单连通，本题默认在平面上讨论。
步骤 2/6
目标：计算P对y的偏导数，建立条件
计算 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x$。由充要条件，得到 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$。这就是第一问的答案。
公式：\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x
提示：偏导数计算时，将另一变量视为常数。
步骤 3/6
目标：由条件积分求出Q的含参形式
对 $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x$ 关于 $x$ 积分，得 $Q(x,y) = x^2 + C(y)$，其中 $C(y)$ 是仅关于 $y$ 的待定函数。
公式：Q(x,y) = x^2 + C(y)
提示：积分常数项实际上是关于 $y$ 的任意函数。
步骤 4/6
目标：利用势函数表示曲线积分
由于积分与路径无关，存在势函数 $F(x,y)$ 使得 $dF = 2xy\,dx + Q\,dy$。由 $\frac{\partial F}{\partial x}=2xy$ 积分得 $F(x,y)=x^2y + \phi(y)$。再由 $\frac{\partial F}{\partial y}=x^2+\phi'(y)=Q(x,y)=x^2+C(y)$，得 $\phi'(y)=C(y)$，故 $F(x,y)=x^2y + D(y)$，其中 $D'(y)=C(y)$。
公式：F(x,y) = x^2y + D(y)
提示：势函数相差一个常数，不影响积分差。
步骤 5/6
目标：将已知等式转化为势函数形式
左边积分：$\int_{(0,0)}^{(t,1)} = F(t,1)-F(0,0) = t^2 \cdot 1 + D(1) - D(0) = t^2 + D(1)-D(0)$。右边积分：$\int_{(0,0)}^{(1,t)} = F(1,t)-F(0,0) = 1^2 \cdot t + D(t) - D(0) = t + D(t)-D(0)$。由题设两者对任意 $t$ 相等。
公式：t^2 + D(1)-D(0) = t + D(t)-D(0)
提示：注意起点相同，相减时常数 $D(0)$ 抵消。
步骤 6/6
目标：解出D(t)和C(y)
化简得 $D(t) = t^2 - t + D(1)$。两边对 $t$ 求导得 $C(t)=D'(t)=2t-1$，即 $C(y)=2y-1$。代入 $Q(x,y)=x^2+C(y)$ 得 $Q(x,y)=x^2+2y-1$。
公式：Q(x,y) = x^2 + 2y - 1
提示：求导时注意 $D(1)$ 是常数，导数为0。
步骤 7/7
目标：回代得到Q(x,y)表达式
将 $C(y)=2y-1$ 代入 $Q(x,y)=x^2+C(y)$，得 $Q(x,y)=x^2+2y-1$。
公式：$Q(x,y)=x^2+2y-1$
提示：检查是否满足第一问的条件：$\frac{\partial Q}{\partial x}=2x$，成立。
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