南京航空航天大学 2022年数学分析第4题
📝 题目
4．（13 分）试确定 $\displaystyle a, b$ 的值，使得 $\displaystyle \cot x=\frac{1+a x^{2}}{x+b x^{3}}+O\left(x^{5}\right),(x \rightarrow 0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开左边 cot x 到 O(x^5)
利用 $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$，将 $\cos x$ 和 $\sin x$ 在 $x=0$ 处展开：
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + O(x^7)$。
做长除法或使用已知展开式得：
$\cot x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + O(x^5)$。
公式：\cot x = \frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + O(x^5)
提示：注意展开到 $x^3$ 项即可，因为右边要求到 $O(x^5)$，左边 $x^5$ 项不影响系数比较。
步骤 2/5
目标：展开右边表达式到 O(x^5)
右边为 $\frac{1+ax^2}{x+bx^3} = \frac{1+ax^2}{x(1+bx^2)}$。
先展开 $\frac{1}{1+bx^2} = 1 - bx^2 + b^2x^4 + O(x^6)$，
则原式 $= \frac{1+ax^2}{x} \cdot (1 - bx^2 + b^2x^4 + O(x^6))$。
而 $\frac{1+ax^2}{x} = \frac{1}{x} + ax$，
相乘得：
$\frac{1}{x} + (a-b)x + (b^2 - ab)x^3 + O(x^5)$。
公式：\frac{1+ax^2}{x+bx^3} = \frac{1}{x} + (a-b)x + (b^2-ab)x^3 + O(x^5)
提示：注意 $\frac{1}{x}$ 项与 $ax$ 项相乘时，只保留到 $x^3$ 项，更高阶项归入 $O(x^5)$。
步骤 3/5
目标：比较两边系数建立方程组
左边：$\frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 + O(x^5)$
右边：$\frac{1}{x} + (a-b)x + (b^2-ab)x^3 + O(x^5)$
比较 $x^1$ 系数：$a-b = -\frac{1}{3}$
比较 $x^3$ 系数：$b^2 - ab = -\frac{1}{45}$
公式：\begin{cases} a-b = -\frac{1}{3} \\ b^2 - ab = -\frac{1}{45} \end{cases}
提示：注意 $x^{-1}$ 系数已自动相等，无需额外条件。
步骤 4/5
目标：解方程组求出 a 和 b
由 $a-b = -\frac{1}{3}$ 得 $a = b - \frac{1}{3}$。
代入第二个方程：$b^2 - (b-\frac{1}{3})b = -\frac{1}{45}$，
化简得 $b^2 - b^2 + \frac{b}{3} = -\frac{1}{45}$，即 $\frac{b}{3} = -\frac{1}{45}$，
解得 $b = -\frac{1}{15}$。
代入 $a = b - \frac{1}{3} = -\frac{1}{15} - \frac{1}{3} = -\frac{1}{15} - \frac{5}{15} = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$。
公式：a = -\frac{2}{5}, \quad b = -\frac{1}{15}
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 5/5
目标：验证展开式与 O(x^5) 的一致性
将 $a=-\frac{2}{5}, b=-\frac{1}{15}$ 代入右边展开式，得到 $\frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 + O(x^5)$，与左边完全一致。由于我们只要求到 $O(x^5)$，无需匹配更高阶项，因此解唯一。
公式：\cot x = \frac{1-\frac{2}{5}x^2}{x-\frac{1}{15}x^3} + O(x^5)
提示：验证时注意 $O(x^5)$ 表示误差为 $x^5$ 阶，不需要精确匹配 $x^5$ 系数。
步骤 6/8
目标：比较系数建立方程组
比较 $\cot x$ 展开式与待定表达式展开式：
$$\frac{1}{x} - \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + O(x^5) = \frac{1}{x} + (a-b)x + (b^2 - ab)x^3 + O(x^5).$$
比较 $x$ 项系数：$a - b = -\frac{1}{3}$。
比较 $x^3$ 项系数：$b^2 - ab = -\frac{1}{45}$。
提示：注意 $O(x^5)$ 项不参与比较。
步骤 7/8
目标：解方程组
由 $a - b = -\frac{1}{3}$ 得 $a = b - \frac{1}{3}$。代入第二个方程：
$$b^2 - (b - \frac{1}{3})b = b^2 - b^2 + \frac{b}{3} = \frac{b}{3} = -\frac{1}{45},$$
解得 $b = -\frac{1}{15}$。进而 $a = -\frac{1}{15} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{5}$。
提示：代入时注意符号，避免计算错误。
步骤 8/8
目标：写出最终答案
因此，$a = -\frac{2}{5}$，$b = -\frac{1}{15}$。
提示：答案需化简为最简分数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。