南京航空航天大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．解答如下问题：
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}}\left[6+x^{2}-\frac{5}{6} x^{4}-6 \sqrt[3]{2-\cos x}\right]$ ．
（2）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：展开 cos x 到 x^4 项
当 $x \to 0$ 时，将 $\cos x$ 展开为泰勒级数：
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots$$
代入 $2 - \cos x$ 得：
$$2 - \cos x = 2 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\right) = 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$$
公式：\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)
提示：注意展开到 x^4 项即可，因为分母是 x^4，更高阶项不影响极限。
步骤 2/7
目标：展开立方根 (2 - cos x)^{1/3}
令 $u = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，则 $\sqrt[3]{2 - \cos x} = (1+u)^{1/3}$。利用二项展开：
$$(1+u)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + \frac{5}{81}u^3 + \cdots$$
计算 $u$ 和 $u^2$ 到 $x^4$ 项：
$u = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，$u^2 = \frac{x^4}{4} + O(x^6)$，$u^3$ 为 $O(x^6)$ 忽略。
代入得：
$$(1+u)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}\left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}\right) - \frac{1}{9}\cdot\frac{x^4}{4} + O(x^6)$$
化简：
$$= 1 + \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{72} - \frac{x^4}{36} + O(x^6) = 1 + \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)$$
公式：(1+u)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}u - \frac{1}{9}u^2 + O(u^3)
提示：注意 $u^2$ 项中交叉项是 $x^6$ 级别，可以忽略；合并系数时小心分数运算。
步骤 3/7
目标：代入原极限表达式并化简
原式分子为：
$$6 + x^2 - \frac{5}{6}x^4 - 6\left(1 + \frac{x^2}{6} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)\right)$$
展开并合并：
$$= 6 + x^2 - \frac{5}{6}x^4 - 6 - x^2 + \frac{6x^4}{24} + O(x^6)$$
$$= (6-6) + (x^2 - x^2) + \left(-\frac{5}{6} + \frac{1}{4}\right)x^4 + O(x^6)$$
计算系数：$-\frac{5}{6} + \frac{1}{4} = -\frac{10}{12} + \frac{3}{12} = -\frac{7}{12}$，所以分子为 $-\frac{7}{12}x^4 + O(x^6)$。
公式：\frac{6}{24} = \frac{1}{4}
提示：注意正负号，特别是减去 6 倍立方根时，每一项都要乘以 6。
步骤 4/7
目标：求极限值
原极限为：
$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{7}{12}x^4 + O(x^6)}{x^4} = -\frac{7}{12}$$
因此极限值为 $-\frac{7}{12}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{O(x^6)}{x^4} = 0
提示：高阶无穷小除以 x^4 后极限为 0，只需关注 x^4 项系数。
步骤 5/7
目标：化简定积分被积函数
利用三角恒等式 $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$，则：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2x} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{2\cos^2 x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \sec^2 x \, dx$$
公式：1 + \cos 2x = 2\cos^2 x
提示：注意 $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$，便于后续分部积分。
步骤 6/7
目标：应用分部积分法
令 $u = x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$。
分部积分公式：
$$\int x \sec^2 x \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx$$
而 $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$，所以：
$$\int x \sec^2 x \, dx = x \tan x + \ln|\cos x| + C$$
公式：\int u \, dv = uv - \int v \, du
提示：注意 $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$，不要忘记绝对值，但在 $[0, \pi/4]$ 上 $\cos x > 0$，可去掉绝对值。
步骤 7/7
目标：代入上下限计算定积分
原积分 $I = \frac{1}{2} \left[ x \tan x + \ln(\cos x) \right]_{0}^{\pi/4}$。
在 $x = \pi/4$ 处：$\tan(\pi/4) = 1$，$\cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $\ln(\cos(\pi/4)) = \ln(2^{-1/2}) = -\frac{1}{2}\ln 2$，该项为 $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2$。
在 $x = 0$ 处：$0 \cdot 0 + \ln 1 = 0$。
因此：
$$I = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}$$
公式：\ln\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{1}{2}\ln 2
提示：代入下限 0 时，$x \tan x$ 为 0，$\ln(\cos 0) = \ln 1 = 0$，不要遗漏。
步骤 8/8
目标：计算各部分并得出结果
计算 $x \tan x$ 在 $\pi/4$ 处为 $\frac{\pi}{4}$，在0处为0，差为 $\frac{\pi}{4}$。
计算 $\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$，从0到 $\pi/4$：
$$\left[-\ln\cos x\right]_{0}^{\pi/4} = -\ln\frac{\sqrt{2}}{2} + \ln 1 = \frac12 \ln 2$$
代入得：
$$\frac12 \left( \frac{\pi}{4} - \frac12 \ln 2 \right) = \frac{\pi}{8} - \frac{\ln 2}{4}$$
公式：$$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x| + C$$
提示：注意 $\ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \ln(2^{-1/2}) = -\frac12 \ln 2$。
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