📝 南京航空航天大学 2024年数学分析真题

1．解答如下问题：
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}}\left[6+x^{2}-\frac{5}{6} x^{4}-6 \sqrt[3]{2-\cos x}\right]$ ．
（2）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

2．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}, a>0$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 上不一致连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，证明：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得

$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) .
$$

4．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(\ln ^{2} x\right) \sin x}{x+1} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散，并证明．

5．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 Cauchy－Schwarz 不等式：

$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x
$$

（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明：

$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x
$$

6．设 $\displaystyle a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ．
（1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
（2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性并证明．

7．将 $\displaystyle f(x)=e^{x}(-\pi \leq x \leq \pi)$ 展开成傅里叶级数，讨论级数的收玫性，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2}}$ 的和．

8．给定方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
x u^{2}+v=y^{3} \\
2 y u-x v^{3}=4 x
\end{array}\right.
$$

判断其在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=(0,1,0,1)$ 附近能否确定 $\displaystyle u, v$ 为 $\displaystyle x, y$ 的函数，若能，求出偏导数 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}$在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1)$ 的值．

9．解答如下问题：
（1）求曲面积分

$$
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S
$$

其中 $S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面．
（2）求曲线积分

$$
\oint_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(z-e^{y}\right) \mathrm{d} y+(x+1) \mathrm{d} z
$$

其中 $L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，$L$ 沿逆时针方向．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．求极限

$$
\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^{4}} \iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ ．

11．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上恒为负值．证明：当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也恒为负值，且函数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle A \leq f(x) \leq B, g(u)$ 在 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，证明：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．