南京航空航天大学 2024年数学分析第12题

已知： 1. \( f(x) \) 在 \( [a, b] \) 上可积，因此有界，且 \( A \leq f(x) \leq B \)。 2. \( g(u) \) 在闭区间 \( [A, B] \) 上连续，从而一致连续。 目标：证明复合函数 \( g(f(x)) \) 在 \( [a, b] \) 上可积。

因为 \( g \) 在 \( [A, B] \) 上一致连续，所以对任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( \delta > 0 \)，使得当 \( u_1, u_2 \in [A, B] \) 且 \( |u_1 - u_2| < \delta \) 时，有 \( |g(u_1) - g(u_2)| < \varepsilon \)。

由于 \( f \) 可积，根据黎曼可积的充要条件（振幅和可任意小），对于上面得到的 \( \delta > 0 \)，存在 \( [a, b] \) 的一个分割 \( P \)，使得振幅 \( \omega_k(f) \geq \delta \) 的那些小区间的总长度可以任意小。具体地，对任意 \( \eta > 0 \)，存在分割使得这些区间总长度小于 \( \eta \)。这里取 \( \eta = \frac{\varepsilon}{2M} \)，其中 \( M \) 是 \( g \) 在 \( [A, B] \) 上的一个上界。

考虑同一个分割 \( P \)，将区间分成 \( n \) 份。对每个小区间 \( I_k = [x_{k-1}, x_k] \)，记 \( \omega_k(f) = \sup_{x\in I_k} f(x) - \inf_{x\in I_k} f(x) \)。 - 若 \( \omega_k(f) < \delta \)，则对任意 \( x, y \in I_k \)，有 \( |f(x)-f(y)| < \delta \)，由一致连续性得 \( |g(f(x))-g(f(y))| < \varepsilon \)，故 \( \omega_k(g\circ f) \leq \varepsilon \)。 - 若 \( \omega_k(f) \geq \delta \)，则利用 \( g \) 在闭区间上有界：存在 \( M > 0 \) 使得 \( |g(u)| \leq M \)，从而 \( \omega_k(g\circ f) \leq 2M \)。

设 \( S_1 = \{k : \omega_k(f) < \delta\} \), \( S_2 = \{k : \omega_k(f) \geq \delta\} \)。则复合函数的振幅和为： \[ \sum_{k=1}^n \omega_k(g\circ f) \Delta x_k \leq \sum_{k\in S_1} \varepsilon \Delta x_k + \sum_{k\in S_2} 2M \Delta x_k. \] 第一项 \( \leq \varepsilon (b-a) \)。由f可积，可取分割使得 \( \sum_{k\in S_2} \Delta x_k < \frac{\varepsilon}{2M} \)，则第二项 \( \leq 2M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon \)。因此总振幅和 \( \leq \varepsilon(b-a) + \varepsilon = \varepsilon(b-a+1) \)，可随 \( \varepsilon \) 任意小。

由黎曼可积的振幅判别法：若对任意 \( \varepsilon > 0 \)，存在分割使得振幅乘区间长度之和小于 \( \varepsilon \)，则函数可积。这里我们已证明 \( g(f(x)) \) 的振幅和可任意小，因此 \( g(f(x)) \) 在 \( [a, b] \) 上黎曼可积。

因为对任意 $\varepsilon>0$，存在分割使得 $g(f)$ 的振幅和小于 $\varepsilon(b-a+2M)$，而 $\varepsilon$ 可任意小，故 $g(f(x))$ 在 $[a,b]$ 上可积。

由 $\varepsilon$ 的任意性，$g(f(x))$ 的振幅和可以任意小，根据可积的充要条件，$g(f(x))$ 在 $[a,b]$ 上可积。