南京航空航天大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ．
（1）证明 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限．
（2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性并证明．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明数列有下界
首先，由递推公式 $a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)$ 及 $a_1=2>0$，易知所有项均为正数。对任意 $n$，应用均值不等式：$a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right) \ge \sqrt{a_n \cdot \frac{1}{a_n}}=1$，因此数列有下界 $1$。
公式：$a_{n+1} \ge 1$
提示：注意均值不等式要求 $a_n>0$，需先确认正性。
步骤 2/7
目标：证明数列单调递减
考虑相邻两项的差：$a_{n+1}-a_n = \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)-a_n = \frac{1}{2}\left(-a_n+\frac{1}{a_n}\right) = \frac{1-a_n^2}{2a_n}$。由于已证 $a_n \ge 1$，故 $1-a_n^2 \le 0$，从而 $a_{n+1}-a_n \le 0$，数列单调递减。
公式：$a_{n+1}-a_n = \frac{1-a_n^2}{2a_n}$
提示：单调递减结合有下界是收敛的充分条件。
步骤 3/7
目标：求极限
设极限为 $L$，由递推公式取极限得 $L = \frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right)$。两边乘以 $2$：$2L = L+\frac{1}{L}$，即 $L = \frac{1}{L}$，解得 $L^2=1$，结合 $L \ge 1$ 得 $L=1$。
公式：$L = \frac{1}{2}\left(L+\frac{1}{L}\right) \Rightarrow L=1$
提示：取极限时需保证极限存在，已由单调有界定理保证。
步骤 4/7
目标：化简级数通项
由递推公式得 $a_{n+1} = \frac{a_n^2+1}{2a_n}$，则 $\frac{a_n}{a_{n+1}} = \frac{a_n}{\frac{a_n^2+1}{2a_n}} = \frac{2a_n^2}{a_n^2+1}$。于是通项 $\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 = \frac{2a_n^2}{a_n^2+1}-1 = \frac{a_n^2-1}{a_n^2+1}$。
公式：$\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 = \frac{a_n^2-1}{a_n^2+1}$
提示：化简时注意分式运算的准确性。
步骤 5/7
目标：估计通项的量级
设 $b_n = a_n-1$，则 $b_n \to 0^+$。由递推：$a_{n+1}-1 = \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)-1 = \frac{1}{2}\left(a_n-2+\frac{1}{a_n}\right)$。代入 $a_n=1+b_n$，并利用 $\frac{1}{1+b_n}=1-b_n+O(b_n^2)$，得 $b_{n+1} = \frac{1}{2}\left(1+b_n-2+1-b_n+O(b_n^2)\right) = \frac{1}{2}O(b_n^2)$，即 $b_{n+1} \sim \frac{1}{2}b_n^2$，呈二次收敛。
公式：$b_{n+1} \sim \frac{1}{2}b_n^2$
提示：二次收敛意味着 $b_n$ 衰减极快，可尝试归纳证明 $b_n < \frac{1}{2^{2^{n-2}}}$ 等上界。
步骤 6/7
目标：判断级数收敛性
通项 $\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1} = \frac{(a_n-1)(a_n+1)}{a_n^2+1}$。当 $n$ 充分大时，$a_n+1 \approx 2$，$a_n^2+1 \approx 2$，故通项 $\approx a_n-1$。由 $b_{n+1} \sim \frac{1}{2}b_n^2$ 可知 $b_n$ 衰减速度快于任何等比数列（例如可证 $b_n < \frac{1}{2^{n}}$ 对充分大的 $n$ 成立），因此通项衰减极快，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛。
公式：$\frac{a_n^2-1}{a_n^2+1} \approx a_n-1$
提示：严格证明可用比较判别法：由 $b_{n+1} \le \frac{1}{2}b_n^2$ 归纳得 $b_n \le 2^{1-2^{n-1}}$，从而通项小于收敛的几何级数。
步骤 7/7
目标：总结结论
（1）数列 $\{a_n\}$ 单调递减有下界，故收敛，极限为 $1$。
（2）级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$ 收敛。
公式：无
提示：注意区分数列收敛与级数收敛的概念。
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