南京航空航天大学 2024年数学分析第7题
📝 题目
7．将 $\displaystyle f(x)=e^{x}(-\pi \leq x \leq \pi)$ 展开成傅里叶级数，讨论级数的收玫性，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^{2}}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出傅里叶级数展开公式
对于定义在 $[-\pi, \pi]$ 上的函数 $f(x)$，其傅里叶级数为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
其中系数计算公式为：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
公式：$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \cos(nx) dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x \sin(nx) dx$$
提示：注意 $a_0$ 的公式中分母是 $\pi$，不是 $2\pi$，且最终级数中常数项为 $\frac{a_0}{2}$。
步骤 2/8
目标：计算系数 $a_0$
直接积分：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^x dx = \frac{1}{\pi} \left[ e^x \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{\pi} - e^{-\pi}}{\pi}$$
记 $S = e^{\pi} - e^{-\pi} = 2\sinh(\pi)$，则 $a_0 = \frac{S}{\pi}$。
公式：$$a_0 = \frac{e^{\pi} - e^{-\pi}}{\pi}$$
提示：计算定积分时注意上下限代入的正确性，$e^{-\pi}$ 不要写成 $e^{-\pi}$ 的相反数。
步骤 3/8
目标：计算系数 $a_n$
利用积分公式 $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\cos(bx) + b\sin(bx))}{a^2 + b^2}$，取 $a=1, b=n$：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^x (\cos(nx) + n\sin(nx))}{1+n^2} \right]_{-\pi}^{\pi}$$
代入 $x=\pi$ 得 $\frac{e^{\pi}((-1)^n + 0)}{1+n^2} = \frac{(-1)^n e^{\pi}}{1+n^2}$；代入 $x=-\pi$ 得 $\frac{e^{-\pi}((-1)^n + 0)}{1+n^2} = \frac{(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2}$。相减得：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{(-1)^n}{1+n^2} (e^{\pi} - e^{-\pi}) = \frac{(-1)^n S}{\pi(1+n^2)}$$
公式：$$a_n = \frac{(-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi})}{\pi(1+n^2)}$$
提示：注意 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，$\sin(n\pi)=0$；$\cos(-n\pi)=(-1)^n$，$\sin(-n\pi)=0$。
步骤 4/8
目标：计算系数 $b_n$
利用积分公式 $\int e^{ax} \sin(bx) dx = \frac{e^{ax}(a\sin(bx) - b\cos(bx))}{a^2+b^2}$，取 $a=1, b=n$：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{e^x (\sin(nx) - n\cos(nx))}{1+n^2} \right]_{-\pi}^{\pi}$$
代入 $x=\pi$ 得 $\frac{e^{\pi}(0 - n(-1)^n)}{1+n^2} = \frac{-n(-1)^n e^{\pi}}{1+n^2}$；代入 $x=-\pi$ 得 $\frac{e^{-\pi}(0 - n(-1)^n)}{1+n^2} = \frac{-n(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2}$。相减（上限减下限）得：
$$b_n = \frac{1}{\pi} \left( \frac{-n(-1)^n e^{\pi}}{1+n^2} - \frac{-n(-1)^n e^{-\pi}}{1+n^2} \right) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-n(-1)^n (e^{\pi} - e^{-\pi})}{1+n^2} = \frac{(-1)^{n+1} n S}{\pi(1+n^2)}$$
公式：$$b_n = \frac{(-1)^{n+1} n (e^{\pi} - e^{-\pi})}{\pi(1+n^2)}$$
提示：注意 $\sin(n\pi)=0$，$\cos(n\pi)=(-1)^n$；相减时注意符号，最终 $b_n$ 的分子有 $n$ 因子。
步骤 5/8
目标：写出傅里叶级数展开式
将系数代入公式，记 $S = e^{\pi} - e^{-\pi}$：
$$f(x) \sim \frac{S}{2\pi} + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2} \cos(nx) + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{1+n^2} \sin(nx)$$
公式：$$e^x \sim \frac{S}{2\pi} + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2} \cos(nx) + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} n}{1+n^2} \sin(nx), \quad x \in (-\pi, \pi)$$
提示：注意 $a_0/2 = S/(2\pi)$，不要漏掉分母中的2。
步骤 6/8
目标：讨论傅里叶级数的收敛性
函数 $f(x)=e^x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上光滑（无限可微），因此在开区间 $(-\pi, \pi)$ 内傅里叶级数逐点收敛到 $f(x)$。在端点 $x = \pm \pi$ 处，由于周期延拓后函数有跳跃（$e^\pi \neq e^{-\pi}$），级数收敛到左右极限的平均值：$\frac{e^\pi + e^{-\pi}}{2} = \cosh(\pi)$。
公式：$$\lim_{x \to \pi^-} e^x = e^\pi, \quad \lim_{x \to -\pi^+} e^x = e^{-\pi}, \quad \text{平均值} = \frac{e^\pi + e^{-\pi}}{2} = \cosh(\pi)$$
提示：傅里叶级数在间断点处收敛到左右极限的平均值，这是狄利克雷定理的重要内容。
步骤 7/8
目标：利用展开式求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}$ 的和
取 $x = \pi$，此时级数收敛到平均值 $\cosh(\pi)$。代入展开式，注意 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，$\sin(n\pi)=0$：
$$\cosh(\pi) = \frac{S}{2\pi} + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{1+n^2} \cdot (-1)^n = \frac{S}{2\pi} + \frac{S}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2}$$
解得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} = \frac{\pi \cosh(\pi)}{S} - \frac{1}{2} = \frac{\pi \cosh(\pi)}{2\sinh(\pi)} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{2} \coth(\pi) - \frac{1}{2}$$
加上 $n=0$ 的项 $1$ 得：
$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} = 1 + \frac{\pi}{2} \coth(\pi) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \coth(\pi)$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \coth(\pi)$$
提示：注意 $S = e^{\pi} - e^{-\pi} = 2\sinh(\pi)$，$\cosh(\pi)/\sinh(\pi) = \coth(\pi)$。另外 $n$ 从0开始，不要忘记加 $1/(1+0^2)=1$。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
综上所述，所求级数的和为：
$$\boxed{\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \coth(\pi)}$$
公式：$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{1+n^2} = \frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \coth(\pi)$$
提示：最终结果可以保留 $\coth(\pi)$ 形式，也可以写成 $\frac{1}{2} + \frac{\pi}{2} \cdot \frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}$。
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