南京航空航天大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．给定方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x u^{2}+v=y^{3} \\
2 y u-x v^{3}=4 x
\end{array}\right.
$$
判断其在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=(0,1,0,1)$ 附近能否确定 $\displaystyle u, v$ 为 $\displaystyle x, y$ 的函数，若能，求出偏导数 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}$在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1)$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证给定点满足方程组
将 $P_0(0,1,0,1)$ 代入方程组：
第一个方程：$x u^2 + v = 0 \cdot 0^2 + 1 = 1$，右边 $y^3 = 1$，成立。
第二个方程：$2y u - x v^3 = 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot 1^3 = 0$，右边 $4x = 0$，成立。
公式：$x u^2 + v = y^3$, $2y u - x v^3 = 4x$
提示：代入时注意 $x=0$ 会简化计算，避免出错。
步骤 2/6
目标：计算关于 $u,v$ 的雅可比行列式并判断隐函数存在性
令 $F(x,y,u,v)=x u^2+v-y^3$, $G(x,y,u,v)=2y u - x v^3 - 4x$。
计算偏导：
$\frac{\partial F}{\partial u}=2xu$, $\frac{\partial F}{\partial v}=1$, $\frac{\partial G}{\partial u}=2y$, $\frac{\partial G}{\partial v}=-3x v^2$。
在 $P_0$ 处：$\frac{\partial F}{\partial u}=0$, $\frac{\partial F}{\partial v}=1$, $\frac{\partial G}{\partial u}=2$, $\frac{\partial G}{\partial v}=0$。
雅可比行列式 $J = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$，故在 $P_0$ 附近可唯一确定 $u(x,y), v(x,y)$。
公式：$J = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$
提示：雅可比行列式非零是隐函数定理的关键条件，注意计算时不要混淆变量。
步骤 3/6
目标：对原方程组关于 $y$ 求偏导，得到一阶偏导关系
将 $x$ 视为常数，$u,v$ 是 $x,y$ 的函数。
对第一个方程 $x u^2 + v = y^3$ 关于 $y$ 求导：$2x u \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} = 3y^2$。
对第二个方程 $2y u - x v^3 = 4x$ 关于 $y$ 求导：$2u + 2y \frac{\partial u}{\partial y} - 3x v^2 \frac{\partial v}{\partial y} = 0$。
公式：$2x u \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} = 3y^2$, $2u + 2y \frac{\partial u}{\partial y} - 3x v^2 \frac{\partial v}{\partial y} = 0$
提示：注意对乘积项求导时使用链式法则，例如 $2y u$ 对 $y$ 求导得 $2u + 2y \frac{\partial u}{\partial y}$。
步骤 4/6
目标：代入 $P_0$ 求解 $\frac{\partial u}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial v}{\partial y}$
代入 $x=0, y=1, u=0, v=1$：
第一个方程：$0 + \frac{\partial v}{\partial y} = 3 \cdot 1^2$，得 $\frac{\partial v}{\partial y}=3$。
第二个方程：$0 + 2 \cdot 1 \cdot \frac{\partial u}{\partial y} - 0 = 0$，得 $\frac{\partial u}{\partial y}=0$。
公式：$\frac{\partial v}{\partial y}=3$, $\frac{\partial u}{\partial y}=0$
提示：代入时 $x=0$ 使许多项消失，简化计算，但需小心不要遗漏非零项。
步骤 5/6
目标：对第一个方程关于 $y$ 再求一次偏导，得到二阶偏导关系
对 $2x u \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial y} = 3y^2$ 关于 $y$ 求导：
$2x \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + 2x u \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 6y$。
公式：$2x \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 + 2x u \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 6y$
提示：注意 $2x u \frac{\partial u}{\partial y}$ 是三个函数的乘积，求导时需使用乘积法则。
步骤 6/6
目标：代入已知值求解 $\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}$
代入 $x=0, u=0, \frac{\partial u}{\partial y}=0, y=1$：
$0 + 0 + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 6 \cdot 1$，得 $\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=6$。
公式：$\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=6$
提示：由于 $x=0$ 和 $u=0$，所有含 $x$ 或 $u$ 的项均为零，直接得到结果。
步骤 7/7
目标：代入已知值求解二阶偏导数值
代入 $x=0, u=0, \frac{\partial u}{\partial y}=0, y=1$：
$0 + 0 + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} - 6 = 0 \Rightarrow \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=6$。
公式：\frac{\partial^2 v}{\partial y^2}=6
提示：由于 $x=0$ 和 $u=0$，大部分项消失，只需注意 $-6y$ 项代入 $y=1$ 得 $-6$。
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