南京航空航天大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．解答如下问题：
（1）求曲面积分
$$
\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S
$$
其中 $S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面．
（2）求曲线积分
$$
\oint_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(z-e^{y}\right) \mathrm{d} y+(x+1) \mathrm{d} z
$$
其中 $L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，$L$ 沿逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析第一题：将边界曲面分解为锥面和顶部圆盘两部分
立体 $\sqrt{x^2+y^2} \le z \le 1$ 的边界由两部分组成：锥面 $S_1: z = \sqrt{x^2+y^2}, 0\le z\le 1$ 和顶部圆盘 $S_2: z=1, x^2+y^2\le 1$。原曲面积分可分解为：
$$\iint_S (x^2+y^2)dS = \iint_{S_1}(x^2+y^2)dS + \iint_{S_2}(x^2+y^2)dS$$
公式：曲面积分的可加性：$\iint_S f dS = \iint_{S_1} f dS + \iint_{S_2} f dS$
提示：注意边界曲面包含所有侧面和顶面，不要遗漏任何部分。
步骤 2/7
目标：计算锥面部分 $S_1$ 的曲面积分
锥面方程 $z = \sqrt{x^2+y^2}$，记 $r = \sqrt{x^2+y^2}$，则 $z=r$，$0\le r\le 1$。计算面积元：
$$f_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad f_y = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
$$dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dxdy = \sqrt{1+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}}\,dxdy = \sqrt{2}\,dxdy$$
被积函数 $x^2+y^2 = r^2$。在极坐标下积分：
$$\iint_{S_1}(x^2+y^2)dS = \iint_{x^2+y^2\le 1} r^2 \cdot \sqrt{2}\,dxdy = \sqrt{2}\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^3\,dr$$
$$= \sqrt{2}\cdot 2\pi \cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}$$
公式：曲面面积元公式：$dS = \sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dxdy$；极坐标变换：$dxdy = r\,dr\,d\theta$
提示：计算 $dS$ 时注意 $1+f_x^2+f_y^2$ 的简化，不要忘记 $dxdy$ 到 $r\,dr\,d\theta$ 的雅可比因子。
步骤 3/7
目标：计算顶部圆盘部分 $S_2$ 的曲面积分
顶部平面 $z=1$，投影区域为 $x^2+y^2\le 1$，此时 $dS = dxdy$。被积函数 $x^2+y^2 = r^2$。极坐标积分：
$$\iint_{S_2}(x^2+y^2)dS = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1 r^2\cdot r\,dr = 2\pi \cdot \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}$$
公式：平面区域面积元：$dS = dxdy$
提示：顶部是水平面，法向量垂直于 $z$ 轴，面积元就是投影面积。
步骤 4/7
目标：合并两部分得到第一题答案
将锥面和顶部圆盘的结果相加：
$$\iint_S (x^2+y^2)dS = \frac{\sqrt{2}\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}(1+\sqrt{2})$$
公式：无新公式
提示：最终结果需化简为最简形式。
步骤 5/7
目标：分析第二题：应用斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分
曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=R^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，方向为从 $x$ 轴正向看逆时针。设向量场 $\mathbf{F} = (P,Q,R) = (y+\sin x,\; z-e^y,\; x+1)$。由斯托克斯公式：
$$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS$$
其中 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 上被 $L$ 所围的圆盘。
公式：斯托克斯公式：$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS$
提示：选取曲面时，应选择以 $L$ 为边界的简单曲面，这里平面是最自然的选择。
步骤 6/7
目标：计算旋度 $\nabla\times\mathbf{F}$
计算旋度：
$$\nabla\times\mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y+\sin x & z-e^y & x+1 \end{vmatrix}$$
第一分量：$\frac{\partial}{\partial y}(x+1) - \frac{\partial}{\partial z}(z-e^y) = 0 - 1 = -1$
第二分量：$\frac{\partial}{\partial z}(y+\sin x) - \frac{\partial}{\partial x}(x+1) = 0 - 1 = -1$
第三分量：$\frac{\partial}{\partial x}(z-e^y) - \frac{\partial}{\partial y}(y+\sin x) = 0 - 1 = -1$
所以 $\nabla\times\mathbf{F} = (-1, -1, -1)$
公式：旋度计算公式：$\nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)$
提示：计算偏导数时注意每个分量对应的变量，避免混淆。
步骤 7/7
目标：确定曲面 $\Sigma$ 的法向量并计算曲面积分
平面 $x+y+z=0$ 的法向量为 $(1,1,1)$。从 $x$ 轴正向看曲线逆时针，由右手定则，法向量应指向 $x$ 轴正向一侧，即取 $\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$。
被积函数：
$$(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n} = (-1,-1,-1)\cdot\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}$$
曲面积分：
$$\iint_\Sigma (-\sqrt{3})\,dS = -\sqrt{3} \cdot \text{Area}(\Sigma)$$
平面过球心（球心到平面距离为0），故交线为大圆，圆盘半径 $R$，面积 $\pi R^2$。因此：
$$\oint_L \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -\sqrt{3}\cdot \pi R^2$$
公式：单位法向量：$\mathbf{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$；平面与球相交的圆盘面积：$\pi R^2$
提示：法向量方向需与曲线方向满足右手定则，这是斯托克斯公式的关键。球心到平面的距离为0，说明平面过球心，交线为大圆。
步骤 8/8
目标：给出第二问最终答案
由斯托克斯公式，曲线积分等于上述曲面积分的结果：
$$\oint_L (y+\sin x)\mathrm{d}x + (z-e^y)\mathrm{d}y + (x+1)\mathrm{d}z = -\frac{\pi R^2}{\sqrt{3}}.$$
公式：$\oint_L \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = -\frac{\pi R^2}{\sqrt{3}}$
提示：结果与 $R$ 有关，注意不要遗漏负号。
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