南京航空航天大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 Cauchy－Schwarz 不等式：
$$
\left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明：
$$
\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明Cauchy-Schwarz不等式：构造非负二次型
对任意实数 $t$，考虑积分 $\int_a^b [f(x) + t g(x)]^2 dx \ge 0$。展开得：$\int_a^b f^2(x) dx + 2t \int_a^b f(x)g(x) dx + t^2 \int_a^b g^2(x) dx \ge 0$。这是一个关于 $t$ 的二次式，由于它对所有实数 $t$ 非负，其判别式必须非正。
公式：$\Delta = \left( 2\int_a^b fg \right)^2 - 4 \left( \int_a^b f^2 \right) \left( \int_a^b g^2 \right) \le 0$
提示：注意二次型非负的条件是判别式 $\Delta \le 0$，且二次项系数为正（这里 $\int_a^b g^2 \ge 0$，若为零则不等式平凡成立）。
步骤 2/7
目标：由判别式非负推导出Cauchy-Schwarz不等式
由 $\Delta \le 0$ 得 $4\left(\int_a^b fg\right)^2 - 4\left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right) \le 0$，两边除以4即得 $\left(\int_a^b fg\right)^2 \le \left(\int_a^b f^2\right)\left(\int_a^b g^2\right)$。
公式：$\left(\int_a^b f(x)g(x)dx\right)^2 \le \int_a^b f^2(x)dx \cdot \int_a^b g^2(x)dx$
提示：当 $\int_a^b g^2=0$ 时，$g$ 几乎处处为零，不等式两边均为零，结论仍成立。
步骤 3/7
目标：利用f(a)=0和Cauchy-Schwarz估计|f(x)|
由 $f(a)=0$ 得 $f(x) = \int_a^x f'(t) dt$。应用Cauchy-Schwarz不等式：$|f(x)| \le \int_a^x |f'(t)| dt \le \sqrt{x-a} \cdot \sqrt{\int_a^x [f'(t)]^2 dt}$。
公式：$|f(x)| \le \sqrt{x-a} \cdot \sqrt{\int_a^x [f'(t)]^2 dt}$
提示：注意这里积分上限是 $x$，不是 $b$，后续需要小心处理。
步骤 4/7
目标：引入辅助函数F(x)并转化被积表达式
令 $F(x) = \int_a^x [f'(t)]^2 dt$，则 $F'(x) = [f'(x)]^2$，$F(a)=0$。由上一步得 $|f(x)f'(x)| \le \sqrt{x-a} \cdot |f'(x)| \cdot \sqrt{F(x)} = \sqrt{x-a} \cdot \sqrt{F'(x)} \cdot \sqrt{F(x)}$。
公式：$|f(x)f'(x)| \le \sqrt{x-a} \cdot \sqrt{F'(x)} \cdot \sqrt{F(x)}$
提示：这里用到了 $|f'(x)| = \sqrt{F'(x)}$，因为 $F'(x) \ge 0$。
步骤 5/7
目标：应用基本不等式放缩
由 $\sqrt{uv} \le \frac{u+v}{2}$（对 $u,v \ge 0$），令 $u = (x-a)F'(x)$，$v = F(x)$，则 $\sqrt{x-a} \sqrt{F'(x)} \sqrt{F(x)} \le \frac{1}{2} \left( (x-a)F'(x) + F(x) \right)$。两边从 $a$ 到 $b$ 积分得 $\int_a^b |f f'| dx \le \frac{1}{2} \int_a^b (x-a)F'(x) dx + \frac{1}{2} \int_a^b F(x) dx$。
公式：$\sqrt{uv} \le \frac{u+v}{2}$
提示：注意 $u$ 和 $v$ 的非负性，确保不等式方向正确。
步骤 6/7
目标：对第一项分部积分并化简
计算 $\int_a^b (x-a)F'(x) dx$：分部积分得 $\left[(x-a)F(x)\right]_a^b - \int_a^b F(x) dx = (b-a)F(b) - \int_a^b F(x) dx$。代入上一步结果：$\int_a^b |f f'| dx \le \frac{1}{2} \left[ (b-a)F(b) - \int_a^b F(x) dx \right] + \frac{1}{2} \int_a^b F(x) dx = \frac{b-a}{2} F(b)$。
公式：$\int_a^b (x-a)F'(x) dx = (b-a)F(b) - \int_a^b F(x) dx$
提示：分部积分时注意 $F(a)=0$，所以边界项 $[(x-a)F(x)]_a^b = (b-a)F(b)$。
步骤 7/7
目标：代回F(b)得到最终不等式
由 $F(b) = \int_a^b [f'(x)]^2 dx$，得 $\int_a^b |f(x)f'(x)| dx \le \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 dx$。这正是要证明的不等式。
公式：$\int_a^b |f(x)f'(x)| dx \le \frac{b-a}{2} \int_a^b [f'(x)]^2 dx$
提示：注意等号成立的条件：$f'(x)$ 为常数且 $f(x)$ 线性，且 $f(a)=0$，即 $f(x)=c(x-a)$。
步骤 8/8
目标：应用Cauchy-Schwarz不等式得到最终结果
由Cauchy-Schwarz不等式，
$$\left(\int_a^b |f'(x)| \, dx\right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.$$
因此
$$\int_a^b |f(x)f'(x)| \, dx \leq \frac{1}{2} (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx.$$
证毕。
公式：$$\left(\int_a^b |f'(x)| \, dx\right)^2 \leq (b-a) \int_a^b [f'(x)]^2 \, dx$$
提示：注意最终系数为 $\frac{b-a}{2}$，与题目一致。
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