南京航空航天大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(\ln ^{2} x\right) \sin x}{x+1} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散，并证明．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析积分区间内的潜在问题点
积分区间为 $[0, +\infty)$，需检查 $x=0$ 和 $x\to +\infty$ 处的行为。在 $x=0$ 附近，$\ln^2 x \to +\infty$，但 $\sin x \sim x$，分母 $x+1 \to 1$，因此被积函数 $\sim x \ln^2 x$。由于 $\int_0^\delta x \ln^2 x \, dx$ 收敛（幂次 $1 > -1$，对数不影响收敛性），故 $x=0$ 不是瑕点。
公式：\frac{(\ln^2 x)\sin x}{x+1} \sim x \ln^2 x \quad (x\to 0)
提示：注意 $\sin x$ 在零点的一阶近似，不要忽略对数函数的发散性，但幂次足够高时积分仍收敛。
步骤 2/5
目标：分析无穷远处的绝对收敛性
当 $x\to +\infty$ 时，分母 $x+1 \sim x$，故 $\left| \frac{(\ln^2 x)\sin x}{x+1} \right| \sim \frac{\ln^2 x}{x} |\sin x| \le \frac{\ln^2 x}{x}$。考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln^2 x}{x} \, dx$，其原函数为 $\frac{1}{3}\ln^3 x$，在 $+\infty$ 处发散，因此绝对值积分发散，原积分不绝对收敛。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\ln^2 x}{x} \, dx = \left[ \frac{1}{3}\ln^3 x \right]_1^{+\infty} = +\infty
提示：比较判别法：被积函数的绝对值不小于一个发散积分的被积函数（忽略 $\sin x$ 的振荡），但此处用上界估计只能说明可能发散，需进一步验证。
步骤 3/5
目标：应用Dirichlet判别法判断条件收敛
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln^2 x}{x+1} \sin x \, dx$。令 $f(x) = \frac{\ln^2 x}{x+1}$，$g'(x) = \sin x$。则 $\int_a^b \sin x \, dx$ 有界（不超过2）。对 $f(x)$，求导得 $f'(x) = \frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x}(x+1) - \ln^2 x}{(x+1)^2} = \frac{2\ln x (1+1/x) - \ln^2 x}{(x+1)^2}$。当 $x$ 充分大时，$\ln^2 x$ 主导，$f'(x) < 0$，故 $f(x)$ 单调递减趋于0。由Dirichlet判别法，该积分收敛。
公式：f'(x) = \frac{2\ln x (1+1/x) - \ln^2 x}{(x+1)^2} < 0 \quad (x \text{ 充分大})
提示：验证单调性时需注意 $f(x)$ 在 $x$ 较小时可能不单调，但只需在 $[A,+\infty)$ 上单调即可，$A$ 可取足够大。
步骤 4/5
目标：综合区间 $[0,1]$ 的收敛性
在 $(0,1]$ 上，被积函数无其他奇点，且已证 $x=0$ 处可积，故 $\int_0^1 \frac{(\ln^2 x)\sin x}{x+1} \, dx$ 绝对收敛（因为 $\sin x$ 有界，$\ln^2 x$ 可积）。因此整体积分的收敛性由无穷远处决定，即条件收敛。
公式：\int_0^1 \left| \frac{(\ln^2 x)\sin x}{x+1} \right| \, dx \le \int_0^1 \frac{\ln^2 x}{x+1} \, dx < +\infty
提示：注意 $\sin x$ 在 $[0,1]$ 上非负且小于1，可直接用绝对值比较。
步骤 5/5
目标：得出结论
原积分 $\int_0^{+\infty} \frac{(\ln^2 x)\sin x}{x+1} \, dx$ 不绝对收敛，但由Dirichlet判别法知无穷远处积分条件收敛，且有限区间绝对收敛，故整体条件收敛。
提示：条件收敛意味着积分本身收敛，但绝对值积分发散。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。