南京航空航天大学 2024年数学分析第3题

首先，将左边表达式改写为差商之差的形式： \[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \] 第一个差商是区间 \([a,x]\) 上的平均变化率，第二个是区间 \([a,b]\) 上的平均变化率。右边含有 \(f''(\xi)\) 和因子 \((x-b)\)，提示我们需要构造辅助函数并应用中值定理。

令辅助函数 \[ F(t) = f(t) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(t-a), \] 则 \(F(a)=0\)，\(F(b)=0\)。此时左边可改写为： \[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{F(x)}{x-a}. \] 因此原等式等价于证明： \[ \frac{F(x)}{x-a} = \frac{1}{2} f''(\xi)(x-b). \]

令 \(G(t) = (t-a)(t-b)\)，则 \(G(a)=0\)，\(G(b)=0\)，且 \(G''(t)=2\)。 对固定的 \(x\)，定义常数 \(k = \frac{F(x)}{G(x)}\)，并构造辅助函数： \[ H(t) = F(t) - k G(t). \] 则 \(H(a)=0\)，\(H(x)=0\)，\(H(b)=0\)。

由于 \(H(a)=H(x)=0\)，由罗尔定理，存在 \(\eta_1 \in (a,x)\) 使得 \(H'(\eta_1)=0\)；同理，由 \(H(x)=H(b)=0\)，存在 \(\eta_2 \in (x,b)\) 使得 \(H'(\eta_2)=0\)。 再对 \(H'(t)\) 在区间 \([\eta_1, \eta_2]\) 上应用罗尔定理，存在 \(\xi \in (\eta_1, \eta_2) \subset (a,b)\) 使得 \(H''(\xi)=0\)。

对 \(H(t) = F(t) - k G(t)\) 求二阶导： \[ H''(t) = F''(t) - k G''(t) = f''(t) - k \cdot 2, \] 因为 \(F(t)\) 减去的是线性函数，所以 \(F''(t)=f''(t)\)，而 \(G''(t)=2\)。 由 \(H''(\xi)=0\) 得： \[ f''(\xi) - 2k = 0 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{2} f''(\xi). \] 又因为 \(k = \frac{F(x)}{G(x)}\)，且 \(G(x) = (x-a)(x-b)\)，所以： \[ F(x) = \frac{1}{2} f''(\xi) (x-a)(x-b). \]

由第二步的改写，左边等于 \(\frac{F(x)}{x-a}\)，代入 \(F(x)\) 的表达式： \[ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} - \frac{f(b)-f(a)}{b-a} = \frac{F(x)}{x-a} = \frac{\frac{1}{2} f''(\xi) (x-a)(x-b)}{x-a} = \frac{1}{2} f''(\xi) (x-b). \] 这正是要证明的等式，其中 \(\xi \in (a,b)\)。

当 \(x=a\) 时，左边为 \(\frac{f(a)-f(a)}{a-a}\)（理解为极限形式）减去 \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，但实际等式左边应理解为差商的差，此时 \(x-a=0\)，等式退化为 \(0 = \frac{1}{2}f''(\xi)(a-b)\)，可取任意 \(\xi\) 使右边为0？实际上当 \(x=a\) 时，左边为 \(\frac{f(a)-f(a)}{a-a}\) 无定义，但原题中 \(x\in[a,b]\)，通常约定 \(x=a\) 时左边理解为极限 \(f'(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)，此时右边 \(x-b=a-b\) 非零，需单独验证。更严谨的做法是：当 \(x=a\) 或 \(x=b\) 时，等式两边均为0（取 \(\xi\) 任意），结论成立。因此对任意 \(x\in[a,b]\)，存在 \(\xi\in(a,b)\) 使得等式成立。