南京航空航天大学 2024年数学分析第10题

由于积分区域是半径为 $t$ 的球体 $V: x^2+y^2+z^2 \leq t^2$，且被积函数只依赖于径向距离 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，采用球坐标变换： $x = r\sin\theta\cos\phi$, $y = r\sin\theta\sin\phi$, $z = r\cos\theta$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2\sin\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$。 积分区域：$r$ 从 $0$ 到 $t$，$\theta$ 从 $0$ 到 $\pi$，$\phi$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 于是三重积分化为： \[ \iiint_V f\left(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi \int_0^{\pi}\sin\theta\,\mathrm{d}\theta \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r. \]

角度部分与 $f(r)$ 无关，可直接积分： \[ \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi, \quad \int_0^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = [-\cos\theta]_0^{\pi} = 2. \] 两者相乘得 $4\pi$。因此三重积分简化为： \[ \iiint_V f(r) \mathrm{d}V = 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r. \]

将上述结果代入原极限： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{\pi t^4} \iiint_V f(r) \mathrm{d}V = \lim_{t \to 0^+} \frac{1}{\pi t^4} \cdot 4\pi \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r = \lim_{t \to 0^+} \frac{4}{t^4} \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r. \]

令 $F(t) = \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r$，则当 $t \to 0^+$ 时，$F(t) \to 0$，分母 $t^4 \to 0$，满足洛必达法则条件。 对分子求导（由微积分基本定理）：$F'(t) = f(t) t^2$。 分母的导数为 $4t^3$。于是： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{4}{t^4} \int_0^t f(r) r^2 \mathrm{d}r = 4 \lim_{t \to 0^+} \frac{F(t)}{t^4} = 4 \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) t^2}{4 t^3} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t}. \]

由已知条件 $f(0)=0$，且 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，因此 $f$ 在 $0$ 处可导。根据导数定义： \[ \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t - 0} = f'(0). \] 故原极限等于 $f'(0)$。