南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
一．求下列极限和积分．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+e^{3 x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}(1-x)^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：将极限转化为对数形式，便于处理“1的无穷次方”型未定式
设 $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3} \right)^{\frac{1}{x}}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( \frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3} \right)}{x}$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left( \frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3} \right)}{x}$
提示：注意取对数后极限形式变为 $\frac{0}{0}$ 型，可考虑使用泰勒展开或洛必达法则。
步骤 2/8
目标：对分子进行泰勒展开，得到 $\frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3}$ 的展开式
当 $x \to 0$ 时，$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，$e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + o(x^2)$，$e^{3x} = 1 + 3x + \frac{9x^2}{2} + o(x^2)$。求和得 $e^x + e^{2x} + e^{3x} = 3 + 6x + 7x^2 + o(x^2)$，所以 $\frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3} = 1 + 2x + \frac{7}{3}x^2 + o(x^2)$。
公式：$\frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3} = 1 + 2x + \frac{7}{3}x^2 + o(x^2)$
提示：泰勒展开时需注意保留到 $x^2$ 项，因为分母是 $x$，需要足够精度。
步骤 3/8
目标：对对数部分展开，并计算极限
令 $u = 2x + \frac{7}{3}x^2 + o(x^2)$，则 $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2) = 2x + \frac{7}{3}x^2 - \frac{(2x)^2}{2} + o(x^2) = 2x + \frac{1}{3}x^2 + o(x^2)$。于是 $\frac{\ln(\cdots)}{x} = 2 + \frac{1}{3}x + o(x) \to 2$，所以 $\ln L = 2$，$L = e^2$。
公式：$\ln\left(\frac{e^x + e^{2x} + e^{3x}}{3}\right) = 2x + \frac{1}{3}x^2 + o(x^2)$
提示：注意 $\ln(1+u)$ 展开时，$u^2$ 项要正确计算，避免遗漏。
步骤 4/8
目标：对定积分进行分部积分，选择合适的 $u$ 和 $dv$
令 $u = e^x (1-x)^2$，$dv = \frac{1}{(1+x^2)^2} dx$。先求 $v$：$\int \frac{dx}{(1+x^2)^2} = \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan x + C$。则分部积分公式 $\int_0^1 u dv = [uv]_0^1 - \int_0^1 v du$。计算边界：$x=1$ 时 $u=0$，$x=0$ 时 $v=0$，所以边界项为0。
公式：$v = \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan x$
提示：分部积分时，$v$ 的选取要确保能简化后续积分，这里分母为 $(1+x^2)^2$ 的原函数是常见积分公式。
步骤 5/8
目标：计算 $du$ 并简化积分表达式
求导得 $du = \frac{d}{dx}[e^x (1-x)^2] dx = e^x (1-x)^2 + e^x \cdot 2(1-x)(-1) = e^x [(1-x)^2 - 2(1-x)] = e^x (1-x)(-1-x) = -e^x (1-x^2) dx$。于是原积分 $I = -\int_0^1 v du = \int_0^1 v e^x (1-x^2) dx$。
公式：$du = -e^x (1-x^2) dx$，$I = \int_0^1 v e^x (1-x^2) dx$
提示：注意符号变化：$I = -\int v du$ 代入 $du$ 后负负得正。
步骤 6/8
目标：代入 $v$ 并拆分积分
代入 $v$ 得 $I = \int_0^1 e^x (1-x^2) \left[ \frac{x}{2(1+x^2)} + \frac{1}{2} \arctan x \right] dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1-x^2) \frac{x}{1+x^2} dx + \frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1-x^2) \arctan x dx$。第一项中 $\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2} - 1$，所以 $\frac{x(1-x^2)}{1+x^2} = \frac{2x}{1+x^2} - x$，第一项变为 $\frac{1}{2} \int_0^1 e^x \left( \frac{2x}{1+x^2} - x \right) dx = \int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2} \int_0^1 x e^x dx$。
公式：$I = \int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2} \int_0^1 x e^x dx + \frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1-x^2) \arctan x dx$
提示：拆分积分时，注意代数变形 $\frac{1-x^2}{1+x^2} = \frac{2}{1+x^2} - 1$ 是关键步骤。
步骤 7/8
目标：对第二项 $\frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1-x^2) \arctan x dx$ 再次分部积分
令 $p = \arctan x$，$dq = e^x (1-x^2) dx$。先求 $q$：$\int e^x (1-x^2) dx = e^x (1-x^2) - \int e^x (-2x) dx = e^x (1-x^2) + 2 \int x e^x dx = e^x (1-x^2) + 2(x e^x - e^x) + C = e^x (1 - x^2 + 2x - 2) + C = e^x (-x^2 + 2x - 1) + C = -e^x (x-1)^2 + C$。则分部积分得 $\frac{1}{2} \left( [\arctan x \cdot (-e^x (x-1)^2)]_0^1 - \int_0^1 (-e^x (x-1)^2) \cdot \frac{1}{1+x^2} dx \right)$。边界项：$x=1$ 时 $\arctan 1 \cdot 0 = 0$，$x=0$ 时 $\arctan 0 \cdot (-1) = 0$，所以边界项为0。于是该项等于 $\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{e^x (x-1)^2}{1+x^2} dx$。
公式：$\frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1-x^2) \arctan x dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{e^x (x-1)^2}{1+x^2} dx$
提示：注意 $(1-x^2) = -(x^2-1)$，而 $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$，与 $1-x^2$ 不同，需仔细计算 $q$。
步骤 8/8
目标：合并所有项并化简得到最终结果
将第二项结果代入 $I$：$I = \int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2} \int_0^1 x e^x dx + \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{e^x (x-1)^2}{1+x^2} dx$。展开 $(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$，则 $\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{e^x (x^2 - 2x + 1)}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \left( \frac{x^2}{1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \left( 1 - \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{1+x^2} + \frac{1}{1+x^2} \right) dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^x \left( 1 - \frac{2x}{1+x^2} \right) dx$。于是 $I = \int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx - \frac{1}{2} \int_0^1 x e^x dx + \frac{1}{2} \int_0^1 e^x dx - \int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx$。前两项 $\int_0^1 \frac{x e^x}{1+x^2} dx$ 抵消，剩下 $I = -\frac{1}{2} \int_0^1 x e^x dx + \frac{1}{2} \int_0^1 e^x dx = \frac{1}{2} \int_0^1 e^x (1 - x) dx$。计算 $\int_0^1 e^x (1-x) dx$：分部积分，令 $u = 1-x$，$dv = e^x dx$，则 $du = -dx$，$v = e^x$，得 $[(1-x)e^x]_0^1 + \int_0^1 e^x dx = (0 - 1) + (e - 1) = e - 2$。所以 $I = \frac{1}{2}(e - 2)$。
公式：$I = \frac{1}{2}(e - 2)$
提示：合并过程中注意符号和抵消项，最终结果需验证是否与常见积分结果一致。
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