📝 南京航空航天大学 2025年数学分析真题

一．求下列极限和积分．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+e^{3 x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}(1-x)^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

七．讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散？

三．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在且有限，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续。
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上一致连续，但在 $\displaystyle 0<|x|<1$ 上不一致连续．

九．（可能有误）求 $\displaystyle f(x)=e^{\sqrt{x}}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶级数，并求级数的收玫函数以及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+2}$ 的值．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有定义，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 的充要条件是对任意包含在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，就有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ．

五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0, f(x) \leq 0$ ．证明：

$$
f(x) \geq \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, x \in[a, b]
$$

八．点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}>0\right)$ ，求球面在点 $P$ 的切平面与三个坐标平面围成的四面体体积的最小值．

六．设

$$
f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \cos \left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots
$$

求 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 的极限函数，并证明 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致收玫．

十．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 附近存在一阶连续的偏导数，且 $\displaystyle f_{y}(0,1) \neq 0, f(0,1)=0$ ．证明：$\displaystyle f\left(x, \int_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u\right)=0$在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 附近唯一确定单值函数 $\displaystyle t=\varphi(x)$ ，并求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)$ ．

十一．椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0),(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 是椭球面上的单位外法向量，求曲面积分

$$
\iint_{S} z\left(\frac{x}{a^{2}} \cos \alpha+\frac{y}{b^{2}} \cos \beta+\frac{z}{c^{2}} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$

十二．求重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 与 $\displaystyle y=x$ 及 $x$ 轴所围区域．

四．设 $\displaystyle 0<a<b, f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导．
（1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$ ．
（2）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x$ ．