南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三．解答如下问题：
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在且有限，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续。
（2）证明：$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上一致连续，但在 $\displaystyle 0<|x|<1$ 上不一致连续．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明函数在开区间上连续且端点极限存在时，可延拓为闭区间上的连续函数
设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上连续，且 $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_a$，$\lim_{x \to b^-} f(x) = L_b$ 均存在有限。定义新函数 $F(x)$ 如下：
$$F(x) = \begin{cases} L_a, & x = a, \\ f(x), & a < x < b, \\ L_b, & x = b. \end{cases}$$
由于 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且补充定义后 $F(x)$ 在 $x=a$ 处右连续，在 $x=b$ 处左连续，因此 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
公式：$$F(x) = \begin{cases} L_a, & x = a, \\ f(x), & a < x < b, \\ L_b, & x = b. \end{cases}$$
提示：注意补充端点定义时，必须利用极限存在的条件，确保延拓后的函数在端点处连续。
步骤 2/6
目标：应用Cantor定理得到一致连续性
根据闭区间上连续函数必一致连续的Cantor定理，$F(x)$ 在 $[a,b]$ 上一致连续。即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [a,b]$，当 $|x_1 - x_2| < \delta$ 时，有 $|F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$。
公式：$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1,x_2 \in [a,b], |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |F(x_1)-F(x_2)|<\varepsilon$$
提示：Cantor定理是证明一致连续性的重要工具，但前提是函数在闭区间上连续。
步骤 3/6
目标：将一致连续性限制回原开区间
由于在 $(a,b)$ 上 $F(x) = f(x)$，因此对任意 $x_1, x_2 \in (a,b)$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| = |F(x_1) - F(x_2)| < \varepsilon$。这正好是 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 上一致连续的定义，故结论成立。
公式：$$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x_1,x_2 \in (a,b), |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon$$
提示：注意一致连续的定义中，$\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，而不依赖于点的位置。
步骤 4/6
目标：证明 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(0,1)$ 上一致连续
在 $(0,1)$ 上，$x>0$，故 $|\sin x| = \sin x$，于是 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$。该函数在 $x=0$ 处有极限 $\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$，且 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上连续。补充定义 $f(0)=1$，则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，由Cantor定理知其在 $[0,1]$ 上一致连续，从而在 $(0,1)$ 上一致连续。
公式：$$\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$$
提示：注意 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处是未定义点，但极限存在，可进行连续延拓。
步骤 5/6
目标：证明 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 上一致连续
在 $(-1,0)$ 上，$x<0$。令 $t = -x \in (0,1)$，则 $|\sin x| = |\sin(-t)| = |\sin t| = \sin t$（因为 $t>0$），且 $x = -t$，所以 $f(x) = \frac{\sin t}{-t} = -\frac{\sin t}{t}$。由第一步知 $\frac{\sin t}{t}$ 在 $(0,1)$ 上一致连续，乘以常数 $-1$ 后仍一致连续，故 $f(x)$ 在 $(-1,0)$ 上一致连续。
公式：$$f(x) = -\frac{\sin t}{t}, \quad t = -x \in (0,1)$$
提示：利用奇偶性或变量代换将区间转化到已知情形，是处理对称区间的常用技巧。
步骤 6/6
目标：证明 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $0<|x|<1$ 上不一致连续
考虑点列 $x_n = \frac{1}{n}$，$y_n = -\frac{1}{n}$，其中 $n$ 充分大使得 $x_n, y_n \in (0,1) \cup (-1,0)$。则 $|x_n - y_n| = \frac{2}{n} \to 0$（当 $n \to \infty$）。计算函数值：
$$f(x_n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n} \to 1, \quad f(y_n) = \frac{|\sin(-1/n)|}{-1/n} = \frac{\sin(1/n)}{-1/n} \to -1$$
因此 $|f(x_n) - f(y_n)| \to 2$，不趋于0。这说明对 $\varepsilon = 1$，无论 $\delta$ 多小，总存在 $x_n, y_n$ 满足 $|x_n - y_n| < \delta$ 但 $|f(x_n) - f(y_n)| > 1$，故不一致连续。
公式：$$x_n = \frac{1}{n}, \quad y_n = -\frac{1}{n}, \quad |f(x_n)-f(y_n)| \to 2$$
提示：证明不一致连续的关键是找到一对点列，距离趋于0但函数值差不趋于0。注意0是定义域的聚点，但不在定义域内。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(0,1)$ 和 $(-1,0)$ 上一致连续，但在 $0<|x|<1$ 上不一致连续。
提示：注意定义域：$0<|x|<1$ 包含正负两部分，但整体不一致连续。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。