南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
七．讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在无穷远处的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，利用余弦函数的泰勒展开：$\cos\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)$。因此被积函数可写为：
$$
\frac{\sin x \cos\frac{1}{x}}{x} = \frac{\sin x}{x} + O\left(\frac{\sin x}{x^3}\right)
$$
其中余项满足 $\left|O\left(\frac{\sin x}{x^3}\right)\right| \le \frac{C}{x^3}$，在 $[1, +\infty)$ 上绝对可积，因为 $\int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$ 收敛。
公式：\cos\frac{1}{x} = 1 - \frac{1}{2x^2} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)
提示：注意余项的处理：$\sin x$ 有界，因此 $O(\sin x/x^3)$ 的绝对值不超过 $C/x^3$，这是判断可积性的关键。
步骤 2/5
目标：将原积分与经典Dirichlet积分比较
由第一步可知，原积分的收敛性与积分 $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} dx$ 相同，因为余项部分绝对收敛，不影响整体收敛性。因此只需研究 $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} dx$ 的收敛性。
公式：\int_1^{+\infty} \frac{\sin x \cos\frac{1}{x}}{x} dx \sim \int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx
提示：渐近等价只适用于判断收敛性，不能直接用于计算积分值。
步骤 3/5
目标：判断原积分的条件收敛性
考虑 $\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} dx$，由Dirichlet判别法：$\int_1^A \sin x dx$ 有界（因为 $|\int_1^A \sin x dx| \le 2$），且 $1/x$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减趋于0，故该积分收敛。因此原积分也收敛。
公式：\left|\int_1^A \sin x dx\right| \le 2, \quad \frac{1}{x} \searrow 0
提示：Dirichlet判别法的条件是：部分和有界，函数单调趋于0。这里 $\sin x$ 的原函数有界，$1/x$ 单调递减。
步骤 4/5
目标：检查绝对收敛性
考虑绝对值积分 $\int_1^{+\infty} \left|\frac{\sin x \cos\frac{1}{x}}{x}\right| dx$。当 $x$ 充分大时（例如 $x>2$），有 $\cos\frac{1}{x} > \frac{1}{2}$，因此
$$
\left|\frac{\sin x \cos\frac{1}{x}}{x}\right| \ge \frac{|\sin x|}{2x}
$$
而 $\int_2^\infty \frac{|\sin x|}{x} dx$ 是发散的（因为 $|\sin x|$ 的平均值为 $2/\pi$，该积分与调和级数同发散）。故原绝对值积分发散。
公式：\int_2^\infty \frac{|\sin x|}{x} dx \text{ 发散}
提示：判断 $\int |\sin x|/x dx$ 发散时，常用比较法：在区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$ 上，$|\sin x| \ge \sin^2 x = (1-\cos 2x)/2$，然后积分得到调和级数形式。
步骤 5/5
目标：综合结论
原积分收敛（由Dirichlet判别法或与 $\int \sin x/x dx$ 比较），但绝对值积分发散，因此原积分是条件收敛的。
提示：条件收敛的定义：积分收敛但绝对值积分发散。注意不要与绝对收敛混淆。
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