南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle 0<a<b, f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导．
（1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$ ．
（2）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数并应用柯西中值定理
设 $F(x)=f(x)$, $G(x)=\ln x$，则 $F'(x)=f'(x)$, $G'(x)=\frac{1}{x}$。由柯西中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得
\[
\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)} = \frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}.
\]
代入得
\[
\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \frac{f'(\xi)}{1/\xi} = \xi f'(\xi).
\]
公式：\frac{f(b)-f(a)}{\ln b - \ln a} = \xi f'(\xi)
提示：注意柯西中值定理要求两个函数在闭区间连续、开区间可导，且分母导数不为零，这里 $G'(x)=1/x \neq 0$ 满足条件。
步骤 2/4
目标：整理得到第一问结论
将上式两边乘以 $\ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}$，即得
\[
f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}.
\]
公式：f(b)-f(a) = \xi f'(\xi) \ln\frac{b}{a}
提示：注意 $\ln b - \ln a = \ln(b/a)$，不要写错。
步骤 3/4
目标：第二问：变量代换转化为导数定义形式
令 $t = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时 $t \to 0^+$。于是
\[
n(\sqrt[n]{x} - 1) = \frac{x^{1/n} - 1}{1/n} = \frac{x^t - 1}{t}.
\]
公式：n(\sqrt[n]{x} - 1) = \frac{x^t - 1}{t}
提示：注意 $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$，代换后极限转化为 $t \to 0^+$ 的极限。
步骤 4/4
目标：利用导数定义求极限
考虑函数 $h(t) = x^t = e^{t\ln x}$，则 $h'(t) = e^{t\ln x} \cdot \ln x$，故 $h'(0) = \ln x$。由导数定义
\[
\lim_{t \to 0} \frac{x^t - 1}{t} = h'(0) = \ln x.
\]
因此
\[
\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{x} - 1) = \ln x.
\]
公式：\lim_{t \to 0} \frac{x^t - 1}{t} = \ln x
提示：也可用等价无穷小 $x^t - 1 \sim t\ln x$（$t\to 0$）直接得到结果。
步骤 5/6
目标：将极限转化为导数定义形式
考虑极限 $\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1)$，令 $t=\frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时 $t\to 0^+$。于是原式化为 $\lim_{t\to 0}\frac{x^t-1}{t}$。注意到 $x^t=e^{t\ln x}$，这是函数 $g(t)=x^t$ 在 $t=0$ 处的导数定义。
公式：\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\lim_{t\to 0}\frac{x^t-1}{t}
提示：变量替换 $t=1/n$ 是处理 $n\to\infty$ 极限的常用技巧，注意 $t\to 0^+$。
步骤 6/6
目标：计算导数并得出极限值
计算 $g(t)=x^t=e^{t\ln x}$ 的导数：$g'(t)=e^{t\ln x}\cdot\ln x$。故 $g'(0)=e^{0}\cdot\ln x=\ln x$。因此 $\lim_{t\to 0}\frac{x^t-1}{t}=g'(0)=\ln x$。所以原极限 $\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x$。
公式：\lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x
提示：也可用等价无穷小：$e^{t\ln x}-1\sim t\ln x$（$t\to 0$），直接得到结果。
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