南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
十．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 附近存在一阶连续的偏导数，且 $\displaystyle f_{y}(0,1) \neq 0, f(0,1)=0$ ．证明：$\displaystyle f\left(x, \int_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u\right)=0$在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 附近唯一确定单值函数 $\displaystyle t=\varphi(x)$ ，并求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简方程并验证初始条件
计算内层积分：
\[
\int_0^t \sin u \, du = 1 - \cos t.
\]
原方程化为
\[
f(x, 1 - \cos t) = 0.
\]
当 \(x=0\) 时，令 \(1 - \cos t = 1\)，得 \(\cos t = 0\)，在 \(t = \frac{\pi}{2}\) 附近成立。由 \(f(0,1)=0\)，知点 \((0, \frac{\pi}{2})\) 满足方程。
公式：\int_0^t \sin u \, du = 1 - \cos t
提示：注意积分结果不要出错，这是后续隐函数定理应用的基础。
步骤 2/4
目标：构造辅助函数并验证隐函数定理条件
定义 \(F(x,t) = f(x, 1 - \cos t)\)。
验证条件：
- \(F(0, \pi/2) = f(0,1) = 0\)；
- 偏导数 \(F_t = f_y(x, 1 - \cos t) \cdot \sin t\)，在 \((0, \pi/2)\) 处，\(\sin(\pi/2)=1\)，且 \(f_y(0,1) \neq 0\)，故 \(F_t(0, \pi/2) = f_y(0,1) \neq 0\)。
由隐函数定理，存在唯一连续可微函数 \(t = \varphi(x)\) 满足 \(\varphi(0) = \pi/2\) 且 \(F(x, \varphi(x)) = 0\)。
公式：F_t = f_y(x, 1 - \cos t) \cdot \sin t
提示：隐函数定理要求偏导数非零，这里 \(f_y(0,1) \neq 0\) 是关键条件。
步骤 3/4
目标：对恒等式求导并代入初始点
对恒等式 \(f(x, 1 - \cos \varphi(x)) = 0\) 两边关于 \(x\) 求导（链式法则）：
\[
f_x(x, 1 - \cos \varphi) + f_y(x, 1 - \cos \varphi) \cdot (\sin \varphi(x)) \cdot \varphi'(x) = 0.
\]
代入 \(x=0\)，此时 \(\varphi(0) = \pi/2\)，\(\sin(\pi/2)=1\)，\(1 - \cos(\pi/2)=1\)，得
\[
f_x(0,1) + f_y(0,1) \cdot 1 \cdot \varphi'(0) = 0.
\]
公式：f_x + f_y \cdot \sin \varphi \cdot \varphi' = 0
提示：注意链式法则中 \(1 - \cos \varphi\) 对 \(x\) 的导数是 \(\sin \varphi \cdot \varphi'\)，不要遗漏。
步骤 4/4
目标：解出导数并给出最终结果
由上式解得
\[
\varphi'(0) = -\frac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}.
\]
因此，所求导数为 \(-\dfrac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}\)。
公式：\varphi'(0) = -\frac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}
提示：分母 \(f_y(0,1)\) 非零是隐函数定理保证的，结果形式简洁。
步骤 5/5
目标：总结结论
已证明在点 $(0, \frac{\pi}{2})$ 附近存在唯一单值函数 $t = \varphi(x)$，且其导数为 $\varphi'(0) = -\frac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}$。
公式：无新公式
提示：最终答案以分数形式表示，注意符号。
步骤 6/6
目标：解出 $\varphi'(0)$
代入求导后的方程：$f_x(0,1) + f_y(0,1) \cdot \varphi'(0) = 0$，解得 $\varphi'(0) = -\frac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}$。
公式：$\varphi'(0) = -\frac{f_x(0,1)}{f_y(0,1)}$
提示：注意分母 $f_y(0,1) \neq 0$ 是已知条件。
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