南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有定义，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ 的充要条件是对任意包含在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的单调递增数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ，就有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与证明方向
题目要求证明函数极限 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$ 成立的充要条件是：对任意包含在 $[a, +\infty)$ 上的单调递增数列 $\{x_n\}$，若 $x_n \to +\infty$，则 $f(x_n) \to A$。这类似于海涅定理，但数列限制为单调递增。我们需要分别证明必要性（$\Rightarrow$）和充分性（$\Leftarrow$）。
公式：无
提示：注意区分函数极限与数列极限的定义，以及单调递增数列的特殊性。
步骤 2/6
目标：证明必要性：由函数极限推出数列极限
设 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$。由定义，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，$|f(x) - A| < \varepsilon$。任取单调递增且趋于 $+\infty$ 的数列 $\{x_n\} \subset [a, +\infty)$，因为 $x_n \to +\infty$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$x_n > M$。于是对这些 $n$，有 $|f(x_n) - A| < \varepsilon$，即 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists M > a, \forall x > M: |f(x)-A| < \varepsilon$
提示：注意数列单调递增的条件在必要性中并未直接使用，但保证了数列趋于无穷的方式是单调的。
步骤 3/6
目标：证明充分性：反证法构造矛盾
假设对任意单调递增趋于 $+\infty$ 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim f(x_n) = A$，但 $\lim_{x \to +\infty} f(x) \neq A$。则存在 $\varepsilon_0 > 0$，使得对任意大的 $M > 0$，总存在 $x > M$ 满足 $|f(x) - A| \ge \varepsilon_0$。
公式：$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall M > 0, \exists x > M: |f(x)-A| \ge \varepsilon_0$
提示：这是函数极限不成立的标准否定形式，注意量词顺序。
步骤 4/6
目标：构造单调递增数列
构造数列 $\{x_n\}$ 如下：取 $M_1 = a+1$，存在 $x_1 > M_1$ 使得 $|f(x_1)-A| \ge \varepsilon_0$；取 $M_2 = \max\{x_1+1, a+2\}$，存在 $x_2 > M_2$ 使得 $|f(x_2)-A| \ge \varepsilon_0$；一般地，取 $M_k = \max\{x_{k-1}+1, a+k\}$，存在 $x_k > M_k$ 使得 $|f(x_k)-A| \ge \varepsilon_0$。这样 $\{x_n\}$ 严格递增且趋于 $+\infty$。
公式：$x_k > \max\{x_{k-1}+1, a+k\}$
提示：确保每一步都严格大于前一项，以保证单调递增；同时 $a+k$ 保证趋于无穷。
步骤 5/6
目标：导出矛盾，完成充分性证明
由构造，对所有 $n$ 有 $|f(x_n)-A| \ge \varepsilon_0$，因此 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) \neq A$，与假设矛盾。故原假设不成立，必有 $\lim_{x \to +\infty} f(x) = A$。
公式：$|f(x_n)-A| \ge \varepsilon_0$ 对所有 $n$ 成立
提示：反证法的关键在于构造出满足单调递增且趋于无穷的数列，但函数值不趋近于 $A$。
步骤 6/6
目标：总结结论
必要性及充分性均得证，因此原命题成立：$\lim_{x \to +\infty} f(x)=A$ 的充要条件是对任意包含在 $[a,+\infty)$ 上的单调递增数列 $\{x_n\}$，若 $x_n \to +\infty$，则 $\lim_{n \to \infty} f(x_n)=A$。
公式：无
提示：这个结论是海涅定理的变体，说明只需检验单调递增的数列即可。
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