南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八．点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}>0\right)$ ，求球面在点 $P$ 的切平面与三个坐标平面围成的四面体体积的最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出球面在点P处的切平面方程
已知球面方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，在点 $P(x_0, y_0, z_0)$ 处的法向量为 $(2x_0, 2y_0, 2z_0)$。因此切平面方程为 $x_0(x - x_0) + y_0(y - y_0) + z_0(z - z_0) = 0$，化简得 $x_0 x + y_0 y + z_0 z = x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$。
公式：x_0 x + y_0 y + z_0 z = 1
提示：注意利用球面方程化简常数项，不要忘记 $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$。
步骤 2/5
目标：求切平面与三个坐标轴的交点
与x轴相交时，令 $y=0, z=0$，得 $x_0 x = 1$，即 $x = \frac{1}{x_0}$，交点为 $(\frac{1}{x_0}, 0, 0)$。类似地，与y轴交点为 $(0, \frac{1}{y_0}, 0)$，与z轴交点为 $(0, 0, \frac{1}{z_0})$。
公式：\left(\frac{1}{x_0}, 0, 0\right), \left(0, \frac{1}{y_0}, 0\right), \left(0, 0, \frac{1}{z_0}\right)
提示：由于 $x_0, y_0, z_0 > 0$，交点坐标均为正，无需考虑绝对值。
步骤 3/5
目标：写出四面体体积表达式
四面体顶点为原点 $(0,0,0)$ 和三个坐标轴交点，体积为 $V = \frac{1}{6} \cdot \left|\frac{1}{x_0} \cdot \frac{1}{y_0} \cdot \frac{1}{z_0}\right|$。由于 $x_0, y_0, z_0 > 0$，得 $V = \frac{1}{6 x_0 y_0 z_0}$。
公式：V = \frac{1}{6 x_0 y_0 z_0}
提示：四面体体积公式 $V = \frac{1}{6}|abc|$ 适用于三棱锥顶点在原点且三条棱在坐标轴上的情况。
步骤 4/5
目标：利用球面条件转化为条件极值问题
点在球面上，故 $x_0^2 + y_0^2 + z_0^2 = 1$，且 $x_0, y_0, z_0 > 0$。要最小化 $V$，即最大化乘积 $x_0 y_0 z_0$。由均值不等式：$\frac{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}{3} \ge \sqrt[3]{x_0^2 y_0^2 z_0^2}$，代入得 $\frac{1}{3} \ge (x_0 y_0 z_0)^{2/3}$，即 $x_0 y_0 z_0 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{3/2} = \frac{1}{3\sqrt{3}}$。等号成立当且仅当 $x_0^2 = y_0^2 = z_0^2 = \frac{1}{3}$，即 $x_0 = y_0 = z_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
公式：x_0 y_0 z_0 \le \frac{1}{3\sqrt{3}}
提示：注意使用AM-GM不等式时，要先将平方项与乘积的幂次对应，避免直接对 $x_0 y_0 z_0$ 使用均值不等式。
步骤 5/5
目标：求最小体积
将 $x_0 = y_0 = z_0 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 代入体积公式：$V_{\min} = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
公式：V_{\min} = \frac{\sqrt{3}}{2}
提示：计算时注意分母的乘法顺序，避免分数运算错误。
步骤 6/6
目标：求体积的最小值
由于 $V = \frac{1}{6x_0y_0z_0}$，而 $x_0y_0z_0 \leq \frac{1}{3\sqrt{3}}$，所以 $V \geq \frac{1}{6 \cdot \frac{1}{3\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。因此四面体体积的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$。
公式：$V_{\min} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
提示：注意体积表达式是 $x_0y_0z_0$ 的减函数，所以 $x_0y_0z_0$ 最大时体积最小。
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