南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九．（可能有误）求 $\displaystyle f(x)=e^{\sqrt{x}}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上的傅里叶级数，并求级数的收玫函数以及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+2}$ 的值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定傅里叶系数公式
对于周期为 $2\pi$ 的函数，傅里叶级数形式为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
其中系数为：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx$$
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx$$
这里 $f(x)=e^{\sqrt{x}}$，定义在 $[0,2\pi]$ 上，并周期延拓到整个实数轴。
公式：$$a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{\sqrt{x}} dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \cos(nx) dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \sin(nx) dx$$
提示：注意区间长度为 $2\pi$，因此周期为 $2\pi$，傅里叶级数公式中的积分区间为 $[0,2\pi]$。
步骤 2/5
目标：计算 $a_0$
令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t\, dt$，积分限变为 $t$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2\pi}$。于是：
$$\int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} dx = \int_0^{\sqrt{2\pi}} e^t \cdot 2t \, dt$$
使用分部积分法：$\int 2t e^t dt = 2(t e^t - e^t) + C$，代入上下限得：
$$\int_0^{\sqrt{2\pi}} 2t e^t dt = 2\left[ (\sqrt{2\pi} e^{\sqrt{2\pi}} - e^{\sqrt{2\pi}}) - (0 - 1) \right] = 2\left( (\sqrt{2\pi} - 1) e^{\sqrt{2\pi}} + 1 \right)$$
因此：
$$a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot 2\left( (\sqrt{2\pi} - 1) e^{\sqrt{2\pi}} + 1 \right) = \frac{2}{\pi}\left[ (\sqrt{2\pi} - 1) e^{\sqrt{2\pi}} + 1 \right]$$
公式：$$a_0 = \frac{2}{\pi}\left[ (\sqrt{2\pi} - 1) e^{\sqrt{2\pi}} + 1 \right]$$
提示：换元后注意积分限的变化，分部积分时不要遗漏常数项。
步骤 3/5
目标：写出 $a_n$ 和 $b_n$ 的表达式
对于一般的 $n$，积分 $\int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \cos(nx) \, dx$ 和 $\int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \sin(nx) \, dx$ 没有初等函数形式的简单表达式，因此保留为积分形式：
$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \cos(nx) \, dx$$
$$b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \sin(nx) \, dx$$
傅里叶级数可表示为：
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right)$$
公式：$$a_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} e^{\sqrt{x}} \sin(nx) \, dx$$
提示：这些积分无法用初等函数表示，无需强行计算，保留积分形式即可。
步骤 4/5
目标：确定傅里叶级数的收敛函数
函数 $f(x)=e^{\sqrt{x}}$ 在 $[0,2\pi]$ 上连续，但在端点处：$f(0)=1$，$f(2\pi)=e^{\sqrt{2\pi}}$，由于 $e^{\sqrt{2\pi}} \neq 1$，周期延拓后在 $x=0$ 和 $x=2\pi$ 处产生跳跃间断点。根据狄利克雷定理：
- 在内部点 $x \in (0,2\pi)$ 处，傅里叶级数收敛到 $f(x)=e^{\sqrt{x}}$；
- 在端点 $x=0$ 和 $x=2\pi$ 处，收敛到左右极限的平均值：$\frac{f(0^+) + f(2\pi^-)}{2} = \frac{1 + e^{\sqrt{2\pi}}}{2}$。
整个实数轴上以 $2\pi$ 为周期延拓。
公式：$$S(x) = \begin{cases} e^{\sqrt{x}}, & 0 < x < 2\pi \\ \frac{1+e^{\sqrt{2\pi}}}{2}, & x=0 \text{ 或 } x=2\pi \end{cases}$$
提示：注意周期延拓后，所有 $x=2k\pi$（$k$ 为整数）处均为跳跃点，收敛值相同。
步骤 5/5
目标：利用已知公式求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2}$
考虑标准公式：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 + a^2} = \frac{\pi}{2a} \coth(\pi a) - \frac{1}{2a^2}$$
这里 $a^2 = 2$，即 $a = \sqrt{2}$，代入得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \coth(\pi\sqrt{2}) - \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \coth(\pi\sqrt{2}) - \frac{1}{4}$$
该公式可通过傅里叶级数展开 $\cosh(ax)$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上并代入 $x=\pi$ 推导得到。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}} \coth(\pi\sqrt{2}) - \frac{1}{4}$$
提示：注意公式中 $\coth$ 是双曲余切函数，$\coth(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}}$，计算时需小心。
步骤 6/6
目标：解出所求级数和
由上式解出 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2}\)：
\[ \frac{\sqrt{2}}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2} = \frac{1}{e^{2\sqrt{2}\pi} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{2}\pi} \]
两边乘以 \(\frac{\pi}{\sqrt{2}}\)：
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{e^{2\sqrt{2}\pi} - 1} - \frac{1}{2\sqrt{2}\pi} \right) = \frac{\pi}{\sqrt{2}(e^{2\sqrt{2}\pi} - 1)} - \frac{1}{4} \]
公式：\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+2} = \frac{\pi}{\sqrt{2}(e^{2\sqrt{2}\pi} - 1)} - \frac{1}{4} \]
提示：最终结果需化简，注意分母有理化不是必须的，保留简洁形式即可。
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