南京航空航天大学 2025年数学分析第0题

区域 $D$ 由四条曲线围成：$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$，$\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$，$y=x$ 以及 $x$ 轴（$y=0$），均在第一象限。为了简化被积函数 $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^4}{x^2}$，引入变量替换：令 $u = \sqrt{x} + \sqrt{y}$，$v = \sqrt{x}$。则 $\sqrt{y} = u - v$，从而 $x = v^2$，$y = (u - v)^2$。

边界变换： - $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 变为 $u=1$； - $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 变为 $u=2$； - $y=x$ 变为 $(u-v)^2 = v^2$，即 $u-v = v$（取正），得 $v = u/2$； - $x$ 轴（$y=0$）变为 $(u-v)^2=0$，得 $v = u$。 因此新区域：$u$ 从 $1$ 到 $2$，对于每个 $u$，$v$ 从 $v = u/2$（下界，对应 $y=x$）到 $v = u$（上界，对应 $x$ 轴）。

变换 $x = v^2$，$y = (u - v)^2$ 的雅可比矩阵为： \[ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 2v \\ 2(u-v) & -2(u-v) \end{vmatrix} = 0 \cdot (-2(u-v)) - 2v \cdot 2(u-v) = -4v(u-v) \] 取绝对值，得雅可比为 $4v(u-v)$。

被积函数 $\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^4}{x^2} = \frac{u^4}{(v^2)^2} = \frac{u^4}{v^4}$。 因此积分变为： \[ \iint_D \frac{u^4}{v^4} \cdot 4v(u-v) \, du\, dv = 4 \iint \frac{u^4 (u-v)}{v^3} \, du\, dv \] 积分区域：$u \in [1,2]$，$v \in [u/2, u]$。

内层积分： \[ \int_{v=u/2}^{u} \frac{u^4 (u-v)}{v^3} \, dv = u^4 \int_{u/2}^{u} \left( \frac{u}{v^3} - \frac{1}{v^2} \right) dv \] 计算不定积分： \[ \int \frac{u}{v^3} \, dv = -\frac{u}{2v^2}, \quad \int \frac{1}{v^2} \, dv = -\frac{1}{v} \] 代入上下限： - 当 $v = u$ 时：$-\frac{u}{2u^2} + \frac{1}{u} = -\frac{1}{2u} + \frac{1}{u} = \frac{1}{2u}$ - 当 $v = u/2$ 时：$-\frac{u}{2(u^2/4)} + \frac{1}{u/2} = -\frac{2}{u} + \frac{2}{u} = 0$ 所以定积分结果为 $\frac{1}{2u} - 0 = \frac{1}{2u}$。乘上 $u^4$ 得 $\frac{u^3}{2}$。

原积分 = $4 \int_{u=1}^2 \frac{u^3}{2} \, du = 2 \int_1^2 u^3 \, du$。 计算： \[ 2 \cdot \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{1}^{2} = 2 \cdot \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2 \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{2} \] 因此重积分结果为 $\frac{15}{2}$。

外层积分： \[\int_{u=1}^{2} I(u) \, du = \int_{1}^{2} 2u^3 \, du.\] 计算： \[\int 2u^3 \, du = \frac{1}{2} u^4,\] 代入上下限： \[\frac{1}{2} (2^4 - 1^4) = \frac{1}{2} (16 - 1) = \frac{15}{2}.\]