南京航空航天大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
十一．椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0),(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 是椭球面上的单位外法向量，求曲面积分
$$
\iint_{S} z\left(\frac{x}{a^{2}} \cos \alpha+\frac{y}{b^{2}} \cos \beta+\frac{z}{c^{2}} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解被积函数与法向量的关系
椭球面方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\ (z\ge 0)$，$(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$ 是单位外法向量。令 $F(x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}-1$，则梯度 $\nabla F=\left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}\right)$ 指向外侧。单位化后得到：
$$
(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\frac{\left(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2}\right)}{\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}}
$$
公式：\cos\alpha=\frac{x/a^2}{N},\ \cos\beta=\frac{y/b^2}{N},\ \cos\gamma=\frac{z/c^2}{N},\ N=\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}
提示：注意梯度方向与外侧一致，常数因子2在归一化时会被消去。
步骤 2/7
目标：化简被积表达式
被积函数为 $z\left(\frac{x}{a^2}\cos\alpha+\frac{y}{b^2}\cos\beta+\frac{z}{c^2}\cos\gamma\right)$。代入法向量表达式，括号内为：
$$
\frac{x}{a^2}\cdot\frac{x/a^2}{N}+\frac{y}{b^2}\cdot\frac{y/b^2}{N}+\frac{z}{c^2}\cdot\frac{z/c^2}{N}=\frac{x^2/a^4+y^2/b^4+z^2/c^4}{N}=N
$$
因此被积函数简化为 $zN$，原积分化为 $\iint_S zN\,dS$。
公式：\frac{x}{a^2}\cos\alpha+\frac{y}{b^2}\cos\beta+\frac{z}{c^2}\cos\gamma=N
提示：化简时注意分子恰好是 $N^2$，除以 $N$ 后得到 $N$。
步骤 3/7
目标：将积分转化为向量场形式
构造向量场 $\mathbf{F}=\left(\frac{xz}{a^2},\frac{yz}{b^2},\frac{z^2}{c^2}\right)$，则
$$
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\frac{xz}{a^2}\cos\alpha+\frac{yz}{b^2}\cos\beta+\frac{z^2}{c^2}\cos\gamma
$$
这正是原积分的被积函数。因此原曲面积分等于 $\iint_S \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS$，其中 $S$ 是上半椭球面，法向量向外。
公式：\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=z\left(\frac{x}{a^2}\cos\alpha+\frac{y}{b^2}\cos\beta+\frac{z}{c^2}\cos\gamma\right)
提示：注意 $\mathbf{F}$ 的构造要使得点乘后恰好匹配原被积函数。
步骤 4/7
目标：补上底面构成封闭曲面
上半椭球面 $S$ 不是封闭的，其边界是 $z=0$ 平面上的椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$。补上底面 $S_0: z=0,\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$，法向量取向下（即 $-\mathbf{k}$ 方向）。在 $S_0$ 上 $z=0$，故 $\mathbf{F}=(0,0,0)$，所以 $\iint_{S_0}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=0$。因此原积分等于封闭曲面 $S\cup S_0$ 上的曲面积分。
公式：\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{S\cup S_0}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS
提示：底面法向量必须指向封闭区域外部，即向下，但被积函数在底面上为零，不影响结果。
步骤 5/7
目标：应用高斯公式计算封闭曲面积分
封闭曲面 $S\cup S_0$ 所围区域 $V$ 是上半椭球体：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1,\ z\ge 0$。由高斯公式：
$$
\iint_{S\cup S_0}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iiint_V \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV
$$
计算散度：
$$
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{xz}{a^2}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{yz}{b^2}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2}{c^2}\right)=\frac{z}{a^2}+\frac{z}{b^2}+\frac{2z}{c^2}=z\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}\right)
$$
公式：\nabla\cdot\mathbf{F}=z\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}\right)
提示：散度计算要仔细，$\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z^2}{c^2}\right)=\frac{2z}{c^2}$。
步骤 6/7
目标：计算三重积分
积分化为：
$$
\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}\right)\iiint_V z\,dV
$$
作变量代换：$x=au,\ y=bv,\ z=cw$，雅可比行列式为 $abc$，区域变为上半单位球 $u^2+v^2+w^2\le 1,\ w\ge 0$。则
$$
\iiint_V z\,dV = \iiint_{\text{上半球}} (cw)\cdot abc\,du\,dv\,dw = abc^2\iiint_{\text{上半球}} w\,dV'
$$
在球坐标下：$u=r\sin\theta\cos\phi,\ v=r\sin\theta\sin\phi,\ w=r\cos\theta$，$0\le r\le 1,\ 0\le\phi\le 2\pi,\ 0\le\theta\le \pi/2$，体积元 $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi$，$w=r\cos\theta$。则
$$
\iiint_{\text{上半球}} w\,dV' = \int_0^{2\pi}d\phi\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta\int_0^1 r^3\,dr = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{\pi}{4}
$$
因此 $\iiint_V z\,dV = abc^2\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi abc^2}{4}$。
公式：\iiint_V z\,dV = \frac{\pi abc^2}{4}
提示：球坐标积分时注意 $\theta$ 范围是 $0$ 到 $\pi/2$，$\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{1}{2}$。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
将三重积分结果代入，原曲面积分为：
$$
\iint_S z\left(\frac{x}{a^2}\cos\alpha+\frac{y}{b^2}\cos\beta+\frac{z}{c^2}\cos\gamma\right)dS = \left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}\right)\cdot\frac{\pi abc^2}{4}
$$
化简得：
$$
\frac{\pi abc^2}{4}\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{c^2}\right) = \frac{\pi}{4}\left(\frac{bc^2}{a}+\frac{ac^2}{b}+2ab\right)
$$
公式：\iint_S \cdots dS = \frac{\pi}{4}\left(\frac{bc^2}{a}+\frac{ac^2}{b}+2ab\right)
提示：最终结果可以写成对称形式，注意检查量纲一致性。
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