南京航空航天大学 2026年数学分析第11题

圆锥顶点为 $M(0,0,b)$，底面为切点圆，半径为 $r = \sqrt{a^2 - k^2} = \sqrt{a^2 - \frac{a^4}{b^2}} = \frac{a\sqrt{b^2 - a^2}}{b}$，圆锥高 $h_{\text{cone}} = b - k = b - \frac{a^2}{b} = \frac{b^2 - a^2}{b}$。圆锥体积公式 $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{\text{cone}}$，代入得 $V_{\text{cone}} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{a^2(b^2 - a^2)}{b^2} \cdot \frac{b^2 - a^2}{b} = \frac{\pi a^2 (b^2 - a^2)^2}{3b^3}$。

球冠是球体被平面 $z = k = \frac{a^2}{b}$ 截下的上半部分，球冠高度 $h_{\text{cap}} = a - k = a - \frac{a^2}{b} = \frac{a(b-a)}{b}$。球冠体积公式 $V_{\text{cap}} = \frac{\pi h_{\text{cap}}^2}{3}(3a - h_{\text{cap}})$，代入得 $V_{\text{cap}} = \frac{\pi}{3} \left( \frac{a(b-a)}{b} \right)^2 \left( 3a - \frac{a(b-a)}{b} \right)$。先化简括号内：$3a - \frac{a(b-a)}{b} = \frac{3ab - a(b-a)}{b} = \frac{2ab + a^2}{b} = \frac{a(2b+a)}{b}$，于是 $V_{\text{cap}} = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{a^2(b-a)^2}{b^2} \cdot \frac{a(2b+a)}{b} = \frac{\pi a^3 (b-a)^2 (2b+a)}{3b^3}$。

所求立体是圆锥内部除去球冠的部分（即锥面与球面之间的区域），因此体积 $V = V_{\text{cone}} - V_{\text{cap}}$。代入表达式：$V = \frac{\pi a^2 (b^2 - a^2)^2}{3b^3} - \frac{\pi a^3 (b-a)^2 (2b+a)}{3b^3}$。利用 $b^2 - a^2 = (b-a)(b+a)$，第一项化为 $\frac{\pi a^2 (b-a)^2 (b+a)^2}{3b^3}$。合并得 $V = \frac{\pi a^2 (b-a)^2}{3b^3} \left[ (b+a)^2 - a(2b+a) \right]$。计算括号内：$(b+a)^2 - a(2b+a) = b^2 + 2ab + a^2 - 2ab - a^2 = b^2$。因此 $V = \frac{\pi a^2 (b-a)^2 \cdot b^2}{3b^3} = \frac{\pi a^2 (b-a)^2}{3b}$。

计算 \(I_1 = \int_{-a}^{a^2/b} (a^2-z^2) dz\)： \[ I_1 = \left[ a^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{-a}^{a^2/b} = \left( a^2 \cdot \frac{a^2}{b} - \frac{1}{3}\cdot\frac{a^6}{b^3} \right) - \left( a^2(-a) - \frac{(-a)^3}{3} \right) \] \[ = \frac{a^4}{b} - \frac{a^6}{3b^3} + a^3 - \frac{a^3}{3} = \frac{a^4}{b} - \frac{a^6}{3b^3} + \frac{2a^3}{3} \]

计算 \(I_2 = \int_{a^2/b}^{b} (b-z)^2 dz\)。令 \(u = b-z\)，则 \(du = -dz\)，当 \(z = a^2/b\) 时 \(u = b - a^2/b\)，当 \(z = b\) 时 \(u = 0\)，积分变为： \[ I_2 = \int_{b-a^2/b}^{0} u^2 (-du) = \int_{0}^{b-a^2/b} u^2 du = \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{b-a^2/b} = \frac{1}{3}\left(b - \frac{a^2}{b}\right)^3 \] 因此第二部分体积为： \[ V_2 = \pi \cdot \frac{a^2}{b^2-a^2} \cdot \frac{1}{3}\left(b - \frac{a^2}{b}\right)^3 \]

将 \(b - \frac{a^2}{b} = \frac{b^2 - a^2}{b}\) 代入： \[ V_2 = \frac{\pi a^2}{3(b^2-a^2)} \cdot \left(\frac{b^2-a^2}{b}\right)^3 = \frac{\pi a^2}{3(b^2-a^2)} \cdot \frac{(b^2-a^2)^3}{b^3} = \frac{\pi a^2 (b^2-a^2)^2}{3b^3} \]

总体积 \(V = \pi I_1 + V_2\)： \[ V = \pi \left( \frac{a^4}{b} - \frac{a^6}{3b^3} + \frac{2a^3}{3} \right) + \frac{\pi a^2 (b^2-a^2)^2}{3b^3} \] 将第二项展开：\(\frac{\pi a^2 (b^4 - 2a^2b^2 + a^4)}{3b^3} = \frac{\pi a^2 b^4}{3b^3} - \frac{2\pi a^4 b^2}{3b^3} + \frac{\pi a^6}{3b^3} = \frac{\pi a^2 b}{3} - \frac{2\pi a^4}{3b} + \frac{\pi a^6}{3b^3}\) 代入合并： \[ V = \frac{\pi a^4}{b} - \frac{\pi a^6}{3b^3} + \frac{2\pi a^3}{3} + \frac{\pi a^2 b}{3} - \frac{2\pi a^4}{3b} + \frac{\pi a^6}{3b^3} \] \(-\frac{\pi a^6}{3b^3}\) 与 \(+\frac{\pi a^6}{3b^3}\) 抵消，\(\frac{\pi a^4}{b} - \frac{2\pi a^4}{3b} = \frac{\pi a^4}{3b}\)，所以： \[ V = \frac{2\pi a^3}{3} + \frac{\pi a^2 b}{3} + \frac{\pi a^4}{3b} = \frac{\pi}{3} \left( 2a^3 + a^2 b + \frac{a^4}{b} \right) \]