南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别未定式类型并通分
当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此 $\frac{e^x}{\ln(1+x)} \sim \frac{1}{x}$，原式为 $\infty - \infty$ 型未定式。将两项通分：
$$
\frac{e^x}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \frac{x e^x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}
$$
此时分母 $x\ln(1+x) \sim x^2$，分子趋于 $0$，转化为 $\frac{0}{0}$ 型。
公式：\frac{e^x}{\ln(1+x)} - \frac{1}{x} = \frac{x e^x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)}
提示：注意通分后要检查是否为 $\frac{0}{0}$ 型，以便后续使用泰勒展开或洛必达法则。
步骤 2/4
目标：对分子进行泰勒展开
将 $e^x$ 和 $\ln(1+x)$ 展开到足够高阶（分母是 $x^2$ 阶，分子需展开到 $x^4$ 项以确保精度）：
$$
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + O(x^5)
$$
$$
x e^x = x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} + \frac{x^5}{24} + O(x^6)
$$
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + O(x^6)
$$
相减得：
$$
x e^x - \ln(1+x) = \left( x + x^2 + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{6} \right) - \left( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right) + O(x^5)
$$
化简：
$$
= \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{5}{12}x^4 + O(x^5)
$$
公式：x e^x - \ln(1+x) = \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{5}{12}x^4 + O(x^5)
提示：展开时注意符号，减去 $\ln(1+x)$ 的展开式时要逐项变号。
步骤 3/4
目标：对分母进行泰勒展开
分母 $x \ln(1+x)$ 展开：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + O(x^5)
$$
乘以 $x$ 得：
$$
x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} - \frac{x^5}{4} + O(x^6)
$$
公式：x \ln(1+x) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + O(x^5)
提示：分母的最低阶项是 $x^2$，与分子最低阶一致，可以约去。
步骤 4/4
目标：代入展开式并求极限
将分子和分母的展开式代入极限表达式：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{5}{12}x^4 + O(x^5)}{x^2 - \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{3}x^4 + O(x^5)}
$$
分子分母同时除以 $x^2$：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{12}x^2 + O(x^3)}{1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + O(x^3)} = \frac{\frac{3}{2}}{1} = \frac{3}{2}
$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{12}x^2 + \cdots}{1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + \cdots} = \frac{3}{2}
提示：当 $x \to 0$ 时，所有含 $x$ 的高阶项都趋于 $0$，只需比较常数项。
步骤 5/5
目标：求极限
将分子分母同时除以 x^2：
\[
\frac{x e^x - \ln(1+x)}{x \ln(1+x)} = \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{12}x^2 + O(x^3)}{1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + O(x^3)}
\]
当 x→0 时，分子趋于 \frac{3}{2}，分母趋于 1，因此极限为 \frac{3}{2}。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2} + \frac{1}{6}x + \frac{5}{12}x^2 + \cdots}{1 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}x^2 + \cdots} = \frac{3}{2}
提示：不要忘记检查分子分母的最低阶项是否相同，否则极限可能为 0 或无穷。
步骤 6/7
目标：代入极限并求值
原极限 $= \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + O(x^4)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{6}x + O(x^2)\right) = \frac{3}{2}$。
提示：高阶无穷小 $O(x^3)$ 除以 $x^2$ 后仍趋于0，不影响极限值。
步骤 7/7
目标：写出最终答案
因此，所求极限为 $\displaystyle \frac{3}{2}$。
提示：答案应化简为最简分数。
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