📝 南开大学 2024年数学分析真题

一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right)$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令

$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x|
$$

已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有

$$
|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|,
$$

证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。

三、（20 分）判断广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ 玫散性．

二、（20分）设 $z$ 是由方程

$$
2 x^{3} z-3 x^{2} y^{2}-2 x y z^{2}-4 y^{3} z+4=0
$$

确定的 $\displaystyle x, y$ 的隐函数，在 $\displaystyle x=2, y=1, z=2$ 点计算全微分 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．

五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明：

$$
\left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n}
$$

四、（25分）计算曲线积分

$$
I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{3}+5 x^{3} y^{2}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y
$$

其中 $L$ 为逆时针方向椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+9 y^{2}=36$ ．