南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三、（20 分）判断广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ 玫散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析可能的瑕点
积分区间为 $[0, \infty)$，可能出问题的地方有两处：一是 $x \to 0^+$ 时被积函数是否有奇点；二是 $x \to \infty$ 时被积函数是否衰减足够快。分母 $x^3+1$ 在 $x=-1$ 处为零，但不在积分区间内，因此无需考虑。
提示：注意广义积分的瑕点包括积分区间端点处的无穷间断和无穷限积分，需分别判断。
步骤 2/4
目标：判断 $x \to 0^+$ 时的收敛性
当 $x \to 0^+$ 时，分母 $x^3+1 \to 1$，因此被积函数等价于 $x \ln x$，即
\[
\frac{x \ln x}{x^3+1} \sim x \ln x.
\]
由于 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$，且 $\int_0^\delta x \ln x \, dx$ 是正常积分（原函数可求），故在 $x=0$ 处无瑕点，积分收敛。
公式：$\frac{x \ln x}{x^3+1} \sim x \ln x \quad (x \to 0^+)$
提示：不要误以为 $\ln x$ 在 $0$ 附近发散就认为积分发散，因为 $x \ln x$ 趋于 $0$，实际上积分收敛。
步骤 3/4
目标：判断 $x \to \infty$ 时的收敛性
当 $x \to \infty$ 时，分母 $x^3+1 \sim x^3$，因此被积函数等价于 $\frac{x \ln x}{x^3} = \frac{\ln x}{x^2}$，即
\[
\frac{x \ln x}{x^3+1} \sim \frac{\ln x}{x^2} \quad (x \to \infty).
\]
考虑 $\int_A^\infty \frac{\ln x}{x^2} \, dx$ 的收敛性。对于任意 $\epsilon > 0$，当 $x$ 充分大时，$\ln x < x^\epsilon$。取 $\epsilon = 0.5$，则
\[
\frac{\ln x}{x^2} < \frac{x^{0.5}}{x^2} = \frac{1}{x^{1.5}},
\]
而 $\int^\infty \frac{1}{x^{1.5}} \, dx$ 收敛（因为指数 $1.5 > 1$），由比较判别法，无穷远处积分收敛。
公式：$\frac{x \ln x}{x^3+1} \sim \frac{\ln x}{x^2} \quad (x \to \infty)$
提示：比较判别法需注意选取合适的比较函数，常用 $\frac{1}{x^p}$ 形式，$p>1$ 时收敛。
步骤 4/4
目标：综合判断积分收敛性
在 $x=0$ 附近和 $x \to \infty$ 处，积分均收敛，因此原广义积分 $\int_0^\infty \frac{x \ln x}{x^3+1} \, dx$ 收敛。
提示：广义积分收敛需两端（或所有瑕点处）均收敛，缺一不可。
步骤 5/5
目标：综合结论
两部分积分均绝对收敛，因此原广义积分 $\int_0^\infty \frac{x \ln x}{x^3+1} \, dx$ 收敛。
公式：\int_0^\infty \frac{x \ln x}{x^3+1} \, dx \quad \text{收敛}
提示：注意广义积分收敛要求两端都收敛，此处两端均满足。
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