南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x|
$$
已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有
$$
|f(x)-f(y)| \leq L|x-y|,
$$
证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：第七题：构造区间左端点 c
由 $f(a) < f(b)$ 且 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，考虑集合 $S = \{ x \in [a,b] \mid f(x) = f(b) \}$。由于 $f(b) = f(b)$，故 $b \in S$，$S$ 非空。令 $d = \inf\{ x > a : f(x) = f(b) \}$。由连续性，$f(d) = f(b)$，且对任意 $x \in [a,d)$ 有 $f(x) < f(b)$。
公式：d = \inf\{ x > a : f(x) = f(b) \}
提示：注意 $d$ 是第一个达到 $f(b)$ 的点，需利用连续性证明 $f(d)=f(b)$。
步骤 2/6
目标：第七题：构造区间右端点 c
在区间 $[a,d]$ 上考虑集合 $T = \{ x \in [a,d] \mid f(x) = f(a) \}$。由于 $f(a)=f(a)$，故 $a \in T$。令 $c = \sup\{ x < d : f(x) = f(a) \}$。由连续性，$f(c) = f(a)$，且对任意 $x \in (c,d]$ 有 $f(x) > f(a)$。
公式：c = \sup\{ x < d : f(x) = f(a) \}
提示：注意 $c$ 是最后一个达到 $f(a)$ 的点，需确保 $c < d$。
步骤 3/6
目标：第七题：验证区间性质
在区间 $[c,d]$ 上，由构造知：$f(c)=f(a)$ 为最小值，$f(d)=f(b)$ 为最大值，且对任意 $x \in (c,d)$ 有 $f(a) < f(x) < f(b)$。因此 $[c,d] \subseteq [a,b]$ 满足条件。
公式：\min_{x\in[c,d]} f(x) = f(a), \quad \max_{x\in[c,d]} f(x) = f(b)
提示：需说明 $c$ 和 $d$ 的严格大小关系，由 $f(a)
步骤 4/6
目标：第八题：利用 Lipschitz 条件得到不等式
取 $x=0$，则 $f(0)=0$。取 $y = \frac{\pi}{2N}$（$N$ 为正整数），由 Lipschitz 条件：$f\left(\frac{\pi}{2N}\right) \le L \cdot \frac{\pi}{2N}$。
公式：f\left(\frac{\pi}{2N}\right) \le L \cdot \frac{\pi}{2N}
提示：注意 $f(0)=0$ 是因为 $\sin(0)=0$。
步骤 5/6
目标：第八题：对级数项进行下界估计
当 $1 \le n \le N$ 时，$0 < \frac{n\pi}{2N} \le \frac{\pi}{2}$，利用不等式 $\sin \theta \ge \frac{2}{\pi}\theta$（$0\le\theta\le\pi/2$），得：$\left|\sin\frac{n\pi}{2N}\right| \ge \frac{2}{\pi}\cdot\frac{n\pi}{2N} = \frac{n}{N}$。因此 $f\left(\frac{\pi}{2N}\right) \ge \sum_{n=1}^N a_n \cdot \frac{n}{N}$。
公式：\left|\sin\frac{n\pi}{2N}\right| \ge \frac{n}{N}, \quad f\left(\frac{\pi}{2N}\right) \ge \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N n a_n
提示：注意正弦函数在 $[0,\pi/2]$ 上的凸性可导出该不等式。
步骤 6/6
目标：第八题：推导部分和上界并证明收敛
结合上下界：$\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N n a_n \le L \cdot \frac{\pi}{2N}$，两边乘以 $N$ 得 $\sum_{n=1}^N n a_n \le \frac{L\pi}{2}$。由于 $a_n>0$，部分和 $\sum_{n=1}^N n a_n$ 有上界且单调递增，故级数 $\sum_{n=1}^\infty n a_n$ 收敛。
公式：\sum_{n=1}^N n a_n \le \frac{L\pi}{2}, \quad \forall N \in \mathbb{N}^+
提示：正项级数部分和有上界是收敛的充要条件。
步骤 7/7
目标：第八题：由正项级数部分和有界推出收敛
由于 $a_n > 0$，$\sum_{n=1}^\infty n a_n$ 是正项级数，其部分和 $S_N = \sum_{n=1}^N n a_n$ 单调递增且有上界 $\frac{L\pi}{2}$，因此极限存在，即级数收敛。
公式：$\lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N n a_n$ 存在且有限
提示：正项级数收敛的充要条件是部分和有上界，这里已证得。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。