南开大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
二、（20分）设 $z$ 是由方程
$$
2 x^{3} z-3 x^{2} y^{2}-2 x y z^{2}-4 y^{3} z+4=0
$$
确定的 $\displaystyle x, y$ 的隐函数，在 $\displaystyle x=2, y=1, z=2$ 点计算全微分 $\displaystyle \mathrm{d} z$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将方程转化为隐函数形式，并写出全微分公式
设 $F(x,y,z) = 2x^3z - 3x^2y^2 - 2xyz^2 - 4y^3z + 4$，则 $z$ 由 $F(x,y,z)=0$ 确定为 $x,y$ 的隐函数。由隐函数定理，当 $F_z \neq 0$ 时，有 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$，全微分为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$。
公式：$F(x,y,z)=0$，$dz = -\frac{F_x}{F_z}dx - \frac{F_y}{F_z}dy$
提示：注意隐函数求导公式中负号的位置，以及分母 $F_z$ 在给定点不能为零。
步骤 2/7
目标：计算偏导数 $F_x$
对 $F$ 关于 $x$ 求偏导（视 $y,z$ 为常数）：
$F_x = \frac{\partial}{\partial x}(2x^3z) + \frac{\partial}{\partial x}(-3x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(-2xyz^2) + \frac{\partial}{\partial x}(-4y^3z) + \frac{\partial}{\partial x}(4)$
$= 6x^2z - 6xy^2 - 2yz^2 + 0 + 0$
公式：$F_x = 6x^2z - 6xy^2 - 2yz^2$
提示：逐项求导，注意 $-2xyz^2$ 中 $x$ 的系数是 $-2yz^2$，不要漏掉负号。
步骤 3/7
目标：计算偏导数 $F_y$
对 $F$ 关于 $y$ 求偏导（视 $x,z$ 为常数）：
$F_y = \frac{\partial}{\partial y}(2x^3z) + \frac{\partial}{\partial y}(-3x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-2xyz^2) + \frac{\partial}{\partial y}(-4y^3z) + \frac{\partial}{\partial y}(4)$
$= 0 - 6x^2y - 2xz^2 - 12y^2z + 0$
公式：$F_y = -6x^2y - 2xz^2 - 12y^2z$
提示：注意 $-4y^3z$ 对 $y$ 求导得 $-12y^2z$，系数不要算错。
步骤 4/7
目标：计算偏导数 $F_z$
对 $F$ 关于 $z$ 求偏导（视 $x,y$ 为常数）：
$F_z = \frac{\partial}{\partial z}(2x^3z) + \frac{\partial}{\partial z}(-3x^2y^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-2xyz^2) + \frac{\partial}{\partial z}(-4y^3z) + \frac{\partial}{\partial z}(4)$
$= 2x^3 + 0 - 4xyz - 4y^3 + 0$
公式：$F_z = 2x^3 - 4xyz - 4y^3$
提示：注意 $-2xyz^2$ 对 $z$ 求导是 $-4xyz$，因为 $z^2$ 的导数为 $2z$。
步骤 5/7
目标：代入给定点 $(x,y,z)=(2,1,2)$ 计算各偏导数值
代入 $x=2, y=1, z=2$：
$F_x = 6 \cdot 2^2 \cdot 2 - 6 \cdot 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2^2 = 48 - 12 - 8 = 28$
$F_y = -6 \cdot 2^2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 \cdot 2^2 - 12 \cdot 1^2 \cdot 2 = -24 - 16 - 24 = -64$
$F_z = 2 \cdot 2^3 - 4 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 - 4 \cdot 1^3 = 16 - 16 - 4 = -4$
公式：$F_x(2,1,2)=28,\ F_y(2,1,2)=-64,\ F_z(2,1,2)=-4$
提示：代入时注意幂次计算，如 $2^3=8$，$2^2=4$，避免算术错误。
步骤 6/7
目标：计算偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$
由隐函数求导公式：
$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z} = -\frac{28}{-4} = 7$
$\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z} = -\frac{-64}{-4} = -16$
公式：$\frac{\partial z}{\partial x}=7,\ \frac{\partial z}{\partial y}=-16$
提示：注意负号的处理：$F_z=-4$，代入公式时负负得正。
步骤 7/7
目标：写出全微分 $dz$
全微分公式为 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，代入已求得的偏导数值：
$dz = 7\,dx - 16\,dy$
公式：$dz = 7\,dx - 16\,dy$
提示：最终结果中 $dy$ 的系数为负，注意符号。
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